a,b,c ∈ R chứng minh biểu thức sau: a ³+b ³/2 ≥ (a+b/2) ³

Question

a,b,c ∈ R chứng minh biểu thức sau:
a ³+b ³/2 ≥ (a+b/2) ³

in progress 0
Hadley 1 tháng 2021-09-11T11:59:38+00:00 2 Answers 4 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-11T12:01:14+00:00

    \(\begin{array}{l}
    \quad \dfrac{a^3 + b^3}{2} \geqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\qquad \left(ĐK: a,\ b \geqslant 0\right)\\
    \Leftrightarrow 4(a^3 + b^3) \geqslant (a+b)^3\\
    \Leftrightarrow 4(a^3 + b^3) \geqslant a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\\
    \Leftrightarrow 3a^3 + b^3 \geqslant 3ab(a+b)\qquad (*)\\
    \text{Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:}\\
    a^3 + a^3 + b^3 \geqslant 3\sqrt{a^3.a^3.b^3} = 3a^2b\\
    a^3 + b^3 + b^3 \geqslant 3\sqrt{a^3.b^3.b^3} = 3ab^2\\
    \text{Cộng vế theo vế ta được:}\\
    3(a^3 + b^3) \geq 3a^2b + 3ab^3 = 3ab(a+b)\\
    \Rightarrow (*)\ \rm đúng\\
    \Rightarrow \rm BĐT\ được\ chứng\ minh
    \end{array}\)

     

    0
    2021-09-11T12:01:17+00:00

    Đáp án:

    Bổ sung ĐK: $a;\ b\ge0$ 

    Giải thích các bước giải:

    Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.

    $\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge  \bigg(\dfrac{a+b}{2}\bigg)^3$

    $⇔\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge \dfrac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}$

    $⇔\dfrac{4a^3+4b^3}8\ge \dfrac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}8$

    $⇔4a^3+4b^3\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

    $⇔3a^3+3b^3\ge 3a^2b+3ab^2$

    $⇔a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$

    $⇔a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0$

    $⇔a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge0$

    $⇔(a-b)(a^2-b^2)\ge0$

    $⇔(a-b)^2(a+b)\ge0$ (luôn đúng với $a;\ b\ge0$)

    Vậy BĐT được chứng minh.

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )