a,Cho x,y là hai số thực bất kì,chứng minh:x^2- xy + y^2≥1/3(x^2+xy+y^2) b,Cho x,y,z là 3 số thực dương không âm thỏa mãn:√x+√y+√z =2 Chứng minh :(x√x

0 bình luận về “a,Cho x,y là hai số thực bất kì,chứng minh:x^2- xy + y^2≥1/3(x^2+xy+y^2) b,Cho x,y,z là 3 số thực dương không âm thỏa mãn:√x+√y+√z =2 Chứng minh :(x√x”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   a) $ 2(x – y)² ≥ 0 ⇔ 2x² – 4xy + 2y² ≥ 0 $

   $ ⇔ 3x² – 3xy + 3y² ≥ x² + xy + y² $

   $ ⇔ x² – xy + y² ≥ \frac{1}{3}(x² + xy + y²) (đpcm)$ 

   Dấu $’=’$ xảy ra khi $x = y$

   b) Áp dụng câu a) với $ a = \sqrt[]{x}; b = \sqrt[]{y}; c = \sqrt[]{z}$ 

   $ \frac{a² – ab + b²}{a² + ab + b²} ≥ \frac{1}{3} ⇔ \frac{(a + b)(a² – ab + b²)}{a² + ab + b²} ≥ \frac{a + b}{3}$ 

   $⇔ \frac{a³ + b³}{a² + ab + b²} ≥ \frac{a + b}{3} ⇔ \frac{2a³ + (b³ – a³)}{a² + ab + b²} ≥ \frac{a + b}{3}$

   $⇔ \frac{2a³}{a² + ab + b²} + (b – a) ≥ \frac{a + b}{3} (1)$

   Tương tự :

   $ \frac{2b³}{b² + bc + c²} + (c – b) ≥ \frac{b + c}{3} (2)$

   $ \frac{2c³}{c² + ca + a²} + (a – c) ≥ \frac{c + a}{3} (3)$

   $(1) + (2) + (3):$

   $\frac{2a³}{a² + ab + b²} + \frac{2b³}{b² + bc + c²} + \frac{2c³}{c² + ca + a²} ≥ \frac{2(a + b + c)}{3}$

   $⇔\frac{x\sqrt[]{x}}{x + \sqrt[]{xy} + y} + \frac{y\sqrt[]{y}}{y + \sqrt[]{yz} + z} + \frac{z\sqrt[]{z}}{z + \sqrt[]{zx} + x} ≥ \frac{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} + \sqrt[]{z}}{3}$

   $⇔\frac{x\sqrt[]{x}}{x + \sqrt[]{xy} + y} + \frac{y\sqrt[]{y}}{y + \sqrt[]{yz} + z} + \frac{z\sqrt[]{z}}{z + \sqrt[]{zx} + x} ≥ \frac{2}{3}$

   Dấu $’=’$ xảy ra khi $\sqrt[]{x} = \sqrt[]{y} = \sqrt[]{z} = \frac{2}{3} ⇔ x = y = z = \frac{4}{9}$

    

   Trả lời