a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011|\mathrm{xy}| \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy} \end{array}\rig

Question

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011|\mathrm{xy}| \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy} \end{array}\right.$
b) Tìm tất cả các giá trị của $x, y, z$ sao cho: $\sqrt{x}+\sqrt{y-z}+\sqrt{z-x}=\frac{1}{2}(y+3)$

in progress 0
Athena 1 năm 2021-07-05T17:16:02+00:00 2 Answers 7 views 0

Answers ( )

    0
    2021-07-05T17:17:29+00:00

    Đáp án:

    `a,` `(x,y)` là `:` `(0;0)` và `(9/490;9/1007)`

    `b,` `(x;y;x)=(1;3;2)`

    Giải thích các bước giải:

    `a,` $\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011|\mathrm{xy}|(1) \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy} (2).\end{array}\right.$

    `+)` Nếu `xy>0` thì hệ phương trình `(1)` tương đương với `:`

    $\begin{cases} \dfrac{17}{y}+\dfrac{2}{x}=2011\\\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{x}=3\end{cases}$`<=>`$\begin{cases} \dfrac{1}{y}=\dfrac{1007}{9}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{490}{9}\end{cases}$`<=>`$\begin{cases} x=\dfrac{9}{490}\\y=\dfrac{9}{1007}\end{cases}$`(` nhận `)`

    `+)` Nếu `xy<0` thì hệ phương trình `(1)` tương đương với `:`

    $\begin{cases} \dfrac{17}{y}+\dfrac{2}{x}=-2011\\\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{x}=3\end{cases}$`<=>`$\begin{cases} \dfrac{1}{y}=\dfrac{-1004}{9}\\\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1031}{18}\end{cases}$`=>“xy>0` `(` loại `)`

    `+)` Nếu `xy=0` thì hệ phương trình `(1)` tương đương với `:` 

    `x=y=0` `(` nhận `)`

    Kết luận `:` Hệ có đúng hai nghiệm `(x,y)` là `:` `(0;0)` và `(9/490;9/1007)`

    `text()`

    `b,` Điều kiện `:` `x>=0;y-z>=0;z-x>=0=>y>=z>=x>=0`

    Theo bất đẳng thức Cauchy `:`

    `sqrtx<=(x+1)/2;sqrt(y-z)<=(y-z+1)/2;sqrt(z-x)<=(z-x+1)/2`

    `=>` `\text(Vế phải )=sqrtx+sqrt(y-z)+sqrt(z-x)<=1/2(y+3)=\text(Vế trái)`

    Do đó `:` $\begin{cases} \sqrt{x}=1\\\sqrt{y-z}=1\\\sqrt{z-x}=1\end{cases}$`<=>`$\begin{cases} x=1\\y=3\\z=2\end{cases}$thỏa mã điều kiện

    Kết luận `:` Nghiệm `(x;y;x)=(1;3;2)`

    0
    2021-07-05T17:17:44+00:00

    Cảm ơn Admin đã xem bài của em ạ, em rất tự hào:

    `a)`Ta nhận thấy:`x=y=0` là cặp nghiệm của phương trình, trong trường hợp:`x\ne0`, `y\ne0`

    Xét trường hợp x,y cùng dấu thì:

    `|xy|=xy`

    $\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011\mathrm{xy}(1) \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy}(2).\end{array}\right.$

    Cộng `(1)` và `(2)`, ta có:

    `⇔18x=2011xy+3xy`

    `⇔18x=2014xy`

    Do `x\ne0`:

    `⇔18=2014y`

    `⇔y=18/{2014}=9/{1007}`(nhận)

    Thay `y` vào phương trình `(2)`, ta có:

    `⇔x-2. 9/{1007}=3x. 9/{1007}`

    `⇔x-3x. 9/{1007}= 18/{1007}`

    `⇔x({1007}/{1007}-3. 9/{1007})=18/{1007}`

    `⇔x(1007-3.9)=18`

    `⇔x.980=18`

    `⇔x=18/{980}=9/{490}`(nhận)

    Xét trường hợp x,y khác dấu thì:

    `|xy|=-xy`

    Cộng `(1)` và `(2)`, ta có:

    `⇔18x=+3xy-2011xy`

    `⇔18x=2008xy`

    Do `x\ne0`:

    `⇔18=2008y`

    `⇔y=-18/{2008}=-9/{1004}`(loại vì `xy>0`)

    Thay `y` vào phương trình `(2)`, ta có:

    `⇔x-2. 9/{1004}=3x. 9/{1004}`

    `⇔{1004x}/{1004}-2. 9/{1004}=3x. 9/{1004}`

    `⇔1004x+2.9=3x.(-9)`

    `⇔1004x+18=-27x`

    `⇔1004x+27x=-18`

    `⇔1031x=-18`

    `⇔x={-18}/{1031}`(loại vì `xy>0`)

    Nếu `xy=0` thì phương trình`(1)`tương đương:`x=y=0`(nhận)

    Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:`(0;0)` và `(9/{490};9/{1007})`

    `b)` Điều kiện:`x≥0,y-z≥0,z-x≥0⇒x≥0;y≥z;z≥x⇒0≤x≤z≤y`

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

    `1.\sqrt{x}≤((\sqrt{x})^2+1^2)/2=(x+1)/2`

    `1.\sqrt{y-z}≤((\sqrt{y-z})^2+1^2)/2=(y-z+1)/2`

    `1.\sqrt{z-x}≤((\sqrt{z-x})^2+1^2)/2=(z-x+1)/2`

    Đặt `\sqrt{x}+\sqrt{y-z}+\sqrt{z-x}` là vế trái

    Vế trái:`(x+1)/2+(y-z+1)/2+(z-x+1)/2`

    `=(x+1+y-z+1+z-x+1)/2`

    `=(y+3)/2`

    `=1/2(y+3)`

    `⇒` Vế trái bằng vế phải

    $\begin{cases} \sqrt{x}=1\\\sqrt{y-z}=1\\\sqrt{z-x}=1\end{cases}$

    `⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z-x=1\end{cases}$

    `⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z-1=1\end{cases}$

    `⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z=2\end{cases}$

    `⇔`$\begin{cases} x=1\\y-2=1\\z=2\end{cases}$

    `⇔`$\begin{cases} x=1\text{(thỏa mãn điều kiện)}\\y=3\text{(thỏa mãn điều kiện)}\\z=2\text{(thỏa mãn điều kiện)}\end{cases}$

    Vậy nghiệm của `(;y;z)=(1;3;2).`

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )