a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011|\mathrm{xy}| \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy} \end{array}\rig

0 bình luận về “a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011|\mathrm{xy}| \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy} \end{array}\rig”

1. Đáp án:

   `a,` `(x,y)` là `:` `(0;0)` và `(9/490;9/1007)`

   `b,` `(x;y;x)=(1;3;2)`

   Giải thích các bước giải:

   `a,` $\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011|\mathrm{xy}|(1) \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy} (2).\end{array}\right.$

   `+)` Nếu `xy>0` thì hệ phương trình `(1)` tương đương với `:`

   $\begin{cases} \dfrac{17}{y}+\dfrac{2}{x}=2011\\\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{x}=3\end{cases}$`<=>`$\begin{cases} \dfrac{1}{y}=\dfrac{1007}{9}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{490}{9}\end{cases}$`<=>`$\begin{cases} x=\dfrac{9}{490}\\y=\dfrac{9}{1007}\end{cases}$`(` nhận `)`

   `+)` Nếu `xy<0` thì hệ phương trình `(1)` tương đương với `:`

   $\begin{cases} \dfrac{17}{y}+\dfrac{2}{x}=-2011\\\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{x}=3\end{cases}$`<=>`$\begin{cases} \dfrac{1}{y}=\dfrac{-1004}{9}\\\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1031}{18}\end{cases}$`=>“xy>0` `(` loại `)`

   `+)` Nếu `xy=0` thì hệ phương trình `(1)` tương đương với `:` 

   `x=y=0` `(` nhận `)`

   Kết luận `:` Hệ có đúng hai nghiệm `(x,y)` là `:` `(0;0)` và `(9/490;9/1007)`

   `text()`

   `b,` Điều kiện `:` `x>=0;y-z>=0;z-x>=0=>y>=z>=x>=0`

   Theo bất đẳng thức Cauchy `:`

   `sqrtx<=(x+1)/2;sqrt(y-z)<=(y-z+1)/2;sqrt(z-x)<=(z-x+1)/2`

   `=>` `\text(Vế phải )=sqrtx+sqrt(y-z)+sqrt(z-x)<=1/2(y+3)=\text(Vế trái)`

   Do đó `:` $\begin{cases} \sqrt{x}=1\\\sqrt{y-z}=1\\\sqrt{z-x}=1\end{cases}$`<=>`$\begin{cases} x=1\\y=3\\z=2\end{cases}$thỏa mã điều kiện

   Kết luận `:` Nghiệm `(x;y;x)=(1;3;2)`

   Trả lời

2. Cảm ơn Admin đã xem bài của em ạ, em rất tự hào:

   `a)`Ta nhận thấy:`x=y=0` là cặp nghiệm của phương trình, trong trường hợp:`x\ne0`, `y\ne0`

   Xét trường hợp x,y cùng dấu thì:

   `|xy|=xy`

   $\left\{\begin{array}{l}17 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2011\mathrm{xy}(1) \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=3 \mathrm{xy}(2).\end{array}\right.$

   Cộng `(1)` và `(2)`, ta có:

   `⇔18x=2011xy+3xy`

   `⇔18x=2014xy`

   Do `x\ne0`:

   `⇔18=2014y`

   `⇔y=18/{2014}=9/{1007}`(nhận)

   Thay `y` vào phương trình `(2)`, ta có:

   `⇔x-2. 9/{1007}=3x. 9/{1007}`

   `⇔x-3x. 9/{1007}= 18/{1007}`

   `⇔x({1007}/{1007}-3. 9/{1007})=18/{1007}`

   `⇔x(1007-3.9)=18`

   `⇔x.980=18`

   `⇔x=18/{980}=9/{490}`(nhận)

   Xét trường hợp x,y khác dấu thì:

   `|xy|=-xy`

   Cộng `(1)` và `(2)`, ta có:

   `⇔18x=+3xy-2011xy`

   `⇔18x=2008xy`

   Do `x\ne0`:

   `⇔18=2008y`

   `⇔y=-18/{2008}=-9/{1004}`(loại vì `xy>0`)

   Thay `y` vào phương trình `(2)`, ta có:

   `⇔x-2. 9/{1004}=3x. 9/{1004}`

   `⇔{1004x}/{1004}-2. 9/{1004}=3x. 9/{1004}`

   `⇔1004x+2.9=3x.(-9)`

   `⇔1004x+18=-27x`

   `⇔1004x+27x=-18`

   `⇔1031x=-18`

   `⇔x={-18}/{1031}`(loại vì `xy>0`)

   Nếu `xy=0` thì phương trình`(1)`tương đương:`x=y=0`(nhận)

   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:`(0;0)` và `(9/{490};9/{1007})`

   `b)` Điều kiện:`x≥0,y-z≥0,z-x≥0⇒x≥0;y≥z;z≥x⇒0≤x≤z≤y`

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

   `1.\sqrt{x}≤((\sqrt{x})^2+1^2)/2=(x+1)/2`

   `1.\sqrt{y-z}≤((\sqrt{y-z})^2+1^2)/2=(y-z+1)/2`

   `1.\sqrt{z-x}≤((\sqrt{z-x})^2+1^2)/2=(z-x+1)/2`

   Đặt `\sqrt{x}+\sqrt{y-z}+\sqrt{z-x}` là vế trái

   Vế trái:`(x+1)/2+(y-z+1)/2+(z-x+1)/2`

   `=(x+1+y-z+1+z-x+1)/2`

   `=(y+3)/2`

   `=1/2(y+3)`

   `⇒` Vế trái bằng vế phải

   $\begin{cases} \sqrt{x}=1\\\sqrt{y-z}=1\\\sqrt{z-x}=1\end{cases}$

   `⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z-x=1\end{cases}$

   `⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z-1=1\end{cases}$

   `⇔`$\begin{cases} x=1\\y-z=1\\z=2\end{cases}$

   `⇔`$\begin{cases} x=1\\y-2=1\\z=2\end{cases}$

   `⇔`$\begin{cases} x=1\text{(thỏa mãn điều kiện)}\\y=3\text{(thỏa mãn điều kiện)}\\z=2\text{(thỏa mãn điều kiện)}\end{cases}$

   Vậy nghiệm của `(;y;z)=(1;3;2).`

   Trả lời