Ai giúp mik câu này mik cần gấp
Cho hình chóp đều SABCD có cạnh bên bằng a√5. Gọi M là trung điểm của AB. Biết góc giữa 2 mp (SAB) và (SCD) bằng 60. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SM và AC bằng ??
Ai giúp mik câu này mik cần gấp Cho hình chóp đều SABCD có cạnh bên bằng a√5. Gọi M là trung điểm của AB. Biết góc giữa 2 mp (SAB) và (SCD) bằng 60. K
By Skylar
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC, BD$ của đáy $ABCD$
$N$ là trung điểm $CD$
Gọi $Δ$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $(ACBD)$
Ta có: $ΔSAB$ cân tại $S$ ($S.ABCD$ là hình chóp đều)
$M$ là trung điểm cạnh đáy $AB$ $(gt)$
⇒ $SA\perp AB$
mà $Δ // AB$ (cách dựng)
nên $SA\perp Δ$
Tương tự, ta được: $SN\perp Δ$
mà $SA \in (SAB); \, SB \in (SCD)$
nên $\widehat{MSN}$ là góc giữa $(SAB)$ và $(SCD)$
⇒ $\widehat{MSN} = 60^o$
⇒ $ΔMSN$ là tam giác đều
⇒ $SM = MN = AB$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔSMB$ vuông tại $M$ ta được:
$SB^{2} = SM^{2} + MB^{2}$
⇔ $(2MB)^{2} + MB^{2} = (a\sqrt{5})^{2}$
⇔ $5MB^{2} = 5a^{2}$
⇒ $MB = a$
Ta có: $SO\perp AC$ ($S.ABCD$ là hình chóp đều)
$AC\perp BD$ (đáy là hình vuông)
⇒ $AC\perp (SDB)$
Tương tự, $BD\perp (SAC)$
Ta có:
$\begin{cases} AC\perp (SDB)\\ BD\perp (SAC)\\(SAC)∩(SBD)=SO\\AC\perp SO\\BD\perp SO\end{cases}$
⇒ $(SAC) \perp (SBD)$
Kẻ $MH \perp BD$ $(H \in BD)$
⇒ $MH // AC$ $(\perp BD)$
mà $AC \perp (SBD)$
nên $MH \perp (SBD)$
⇒ $SH$ là hình chiếu của $SM$ lên $(SBD)$
Kẻ $OK\perp SH$
Ta có:
$(SDB)\perp AC$
$(SBD)∩AC=O$
$SH$ là hình chiếu của $SM$ lên $(SBD)$
$OK\perp SH$
Do đó $OK = d(SM;AC)$
Ta có $MH // AC$
$MA = MB$
⇒ $HO = HB = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{\dfrac{AB}{\sqrt{2}}}{2} = \dfrac{2.MB}{2.\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔSOH$ vuông tại $O$, đường cao $OK$ ta được:
$\dfrac{1}{OK^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}} + \dfrac{1}{SO^{2}}$
⇔ $\dfrac{1}{OK^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}} + \dfrac{1}{(\dfrac{AB\sqrt{2}}{2})^{2}}$
⇔ $\dfrac{1}{OK^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}} + \dfrac{1}{2MB^{2}}$
⇔ $OK^{2} = \dfrac{2MB^{2}OH^{2}}{2MB^{2}+OH^{2}} = \dfrac{5}{2a^{2}}$
⇒ $OK = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$