Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:
\(\int {{{\sin }^4}x} dx\)
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính: \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)
By Aubrey
By Aubrey
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:
\(\int {{{\sin }^4}x} dx\)
Đáp án: sin
4
x
=
(
1
−
cos
2
x
)
2
4
=
1
4
(
1
2
cos
2
x
+
cos
2
2
x
)
=
1
4
(
1
−
2
cos
2
x
+
1
+
cos
4
x
2
)
=
1
4
(
3
2
−
2
cos
2
x
+
1
2
cos
4
x
)
Khi đó
∫
sin
4
x
d
x
=
∫
1
4
(
3
2
−
2
cos
2
x
+
1
2
cos
4
x
)
d
x
=
∫
(
3
8
−
1
2
cos
2
x
+
1
8
cos
4
x
)
d
x
=
3
8
x
−
1
2
.
sin
2
x
2
+
1
8
.
sin
4
x
4
+
C
=
3
8
x
−
sin
2
x
4
+
sin
4
x
32
+
C
Ta có: \({\sin ^4}x = \dfrac{{{{\left( {1 – \cos 2x} \right)}^2}}}{4}\)\( = \dfrac{1}{4}\left( {1 – 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)\)
\( = \dfrac{1}{4}\left( {1 – 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} – 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)\)
Khi đó \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)\( = \int {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} – 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)dx} \) \( = \int {\left( {\dfrac{3}{8} – \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{8}\cos 4x} \right)dx} \)
\( = \dfrac{3}{8}x – \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 2x}}{2} + \dfrac{1}{8}.\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C\) \( = \dfrac{3}{8}x – \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}} + C\)