Cho 2 số hữu tỉ x, y có tổng bằng 4. Chứng minh rằng xy<=4

0 bình luận về “Cho 2 số hữu tỉ x, y có tổng bằng 4. Chứng minh rằng xy<=4”

1. Ta có :

   +) Nếu `x , y < 0` thì khi đó ` x + y \ne 4`

   `=>` Không thỏa mãn

   +) WLOG ` x > 0 ; y < 0 ;`

   `=>x.y < 0` .

   ` => xy \leq4`

   +) Với ` x ; y > 0`

   BĐT Cosi có dạng như sau :

   ` x + y \geq 2 \sqrt[]{xy}`

   Áp dụng, ta có :

   ` x + y \geq 2 \sqrt[]{xy}`

   ` => (x+y)^2 \geq 4xy` ( Bình phương hai vế của bất đẳng thức )

   ` => 4^2 \geq 4xy`

   ` => 16 \geq 4xy` ( do ` x + y = 4` )

   ` => 4xy \leq 16`

   ` => xy \leq 4`

   ` => đpcm`

    

    

   Trả lời

2. *)

   Với $x,y<0 $

   $=>x+y\ne4$
   *)

   WLOG $x>0;y<0$

   $=>xy<0$
   $=>xy\le4$
   *)

   WLOG $x=0$

   $=>xy=0\le4$

   *) Với $x,y>0$

   WLOG $x<y$

   Đặt $y=x+a$ (a hữu tỉ)
   $=>x+x+a=4$

   $=>a=4-2x$

   Ta có điều phải chứng minh là:

   $x(x+a)\le4$

   $<=>x(x+4-2x)\le4$

   $<=>x^2+4x-2x^2-4\le0$
   $<=>-x^2+4x-4\le0$
   $<=>-(x^2-2x-2x+4)\le0$
   $<=>-[x(x-2)-2(x-2)\le0$

   $<=>-(x-2)(x-2)\le0$
   $<=>-(x-2)^2\le0$

   Ta có:

   $(x-2)^2\ge0$
   $=>-(x-2)^2\le0$
   $=>xy\le4$

   $=>$ Đpcm được chứng minh

    

   Trả lời