Cho x^3 + y^3 = 2. Chứng minh rằng x + y <= 2 (Bất phương trình)

Question

Cho x^3 + y^3 = 2. Chứng minh rằng x + y <= 2 (Bất phương trình)

in progress 0
Rose 9 giờ 2021-09-17T02:15:27+00:00 1 Answers 0 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-17T02:16:39+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Theo gt $: 2 = x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) (1)$

    Vì $x² – xy + y² = (x – \frac{y}{2})² +  \frac{3y²}{4} ≥ 0$

    nên từ $(1) ⇒ x + y > 0$

    Lại có $: 4xy ≤ (x + y)² ⇔ 3xy(x + y) ≤ \frac{3}{4}(x + y)³$

    Nên $: (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)$

    $ ≤ 2 + \frac{3}{4}(x + y)³ ⇔ (x + y)³ ≤ 8 ⇔ x + y ≤ 2 (đpcm)$

    Dấu $”=”$ xảy ra khi $x = y = 1$

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )