cho `a,b>0; a+b=1`
`CM :(a+1/b)^2 +(b+1/a)^2≥ (25)/(2)`
thơ :
tình chúng ta như 1 hằng đẳng thức
sống bên nhau như 2 vế phương trình
tạm xa nhau trong lúc phân tích
hẹ gặp lại ở phần chứng minh
……….
bắt được quả tan sin nằm trên cos
cot dại dột để cos đè sin
cho `a,b>0; a+b=1` `CM :(a+1/b)^2 +(b+1/a)^2≥ (25)/(2)` thơ : tình chúng ta như 1 hằng đẳng thức sống bên nhau như 2 vế phương trình tạm xa nhau tro
By Serenity
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`
`=>a^2+b^2>=1/2 (a+b)^2`
`=>(a+ 1/b)^2+(b+ 1/a)^2>=1/2(a+b+1/a+1/b)^2`
`=>(a+ 1/b)^2+(b+ 1/a)^2>=1/2(1 +1/a+1/b)^2`
Lại có:a,b>0`
`=>1/a +1/b >=(1+1)^2/(a+b)=4/(a+b)=4/1=4`
`=>(a+ 1/b)^2+(b+ 1/a)^2>=1/2(1 +4)^2`
`=>(a+ 1/b)^2+(b+ 1/a)^2>=25/2`
`=>ĐPCM`
`(a+1/b)^2+(b+1/a)^2≥1/2 (a+b+1/a+1/b)^2≥1/2(1+a/b+b/a+1+1)^2≥1/2(3+2\sqrt[a/b .b/a])^2`
`⇔(a+1/b)^2+(b+1/a)^2≥1/2(3+2)^2=1/2 ×5^2=(25)/2 `