Toán Cho a, b > 1. Chứng minh: (a^2/b-1) + (b^2/a-1) >= 8. 12/09/2021 By Mary Cho a, b > 1. Chứng minh: (a^2/b-1) + (b^2/a-1) >= 8.
Giải thích các bước giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có: $a = \left ( a – 1 \right ) + 1 \geq 2\sqrt{a – 1}$ $\Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{a – 1}} \geq 2$ Tương tự ta có: $\dfrac{b}{\sqrt{b – 1}} \geq 2$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có: $\dfrac{a^{2}}{b – 1} + \dfrac{b^{2}}{a – 1} \geq 2\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b – 1}.\dfrac{b^{2}}{a – 1}} = 2.\dfrac{a}{\sqrt{a – 1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b – 1}} \geq 2.2.2 = 8$ Dấu “=” xảy ra khi $a = b = 2$ Trả lời
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
$a = \left ( a – 1 \right ) + 1 \geq 2\sqrt{a – 1}$
$\Rightarrow \dfrac{a}{\sqrt{a – 1}} \geq 2$
Tương tự ta có: $\dfrac{b}{\sqrt{b – 1}} \geq 2$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
$\dfrac{a^{2}}{b – 1} + \dfrac{b^{2}}{a – 1} \geq 2\sqrt{\dfrac{a^{2}}{b – 1}.\dfrac{b^{2}}{a – 1}} = 2.\dfrac{a}{\sqrt{a – 1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b – 1}} \geq 2.2.2 = 8$
Dấu “=” xảy ra khi $a = b = 2$