Cho a,b,c>0 thỏa a + b + c = 3 Tìm GTNN của biểu thức C = $a^{5}$ + $b^{5}$ +$c^{5}$ + $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{b}$

0 bình luận về “Cho a,b,c>0 thỏa a + b + c = 3 Tìm GTNN của biểu thức C = $a^{5}$ + $b^{5}$ +$c^{5}$ + $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{b}$”

1. Đáp án: $C_{min}=6⇔a=b=c=1$

    

   Giải thích các bước giải:

   Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau:

   $3(A^2+B^2+C^2)≥(A+B+C)^2∀A;B;C$

   $⇔3A^2+3B^2+3C^2≥A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2AC$

   $⇔2A^2+2B^2+2C^2-2AB-2BC-2AC≥0$

   $⇔(A^2-2AB+B^2)+(B^2-2BC+C^2)+(C^2-2AC+A^2)≥0$

   $⇔(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2≥0$ (luôn đúng)

   Dấu bằng xảy ra $⇔A=B=C$

   Trở lại bài toán:

   Ta có: `C=a^5+b^5+c^5+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}`

   `=(a^5+\frac{1}{a})+(b^5+\frac{1}{b})+(c^5+\frac{1}{c})`

   `≥2\sqrt{a^5.\frac{1}{a}}+2\sqrt{b^5.\frac{1}{b}}+2\sqrt{c^5.\frac{1}{c}}`

   $=2a^2+2b^2+2c^2$

   `=\frac{2}{3}.3(a^2+b^2+c^2)`

   `≥\frac{2}{3}(a+b+c)^2`

   `=\frac{2}{3}(a+b+c)^2=\frac{2}{3}.3^2=6`

   Dấu bằng xảy ra

   $⇔\begin{cases}a^5=\frac{1}{a}\\b^5=\frac{1}{b}\\c^5=\frac{1}{c}\\a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}⇔a=b=c=1$

   Trả lời