Cho a,b,c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng 1/(a^3+b^3+1) + 1/ (b^3+c^3+1) +1/ (a^3 + c^3 + 1) <= 1

Question

Cho a,b,c > 0 và abc = 1
Chứng minh rằng 1/(a^3+b^3+1) + 1/ (b^3+c^3+1) +1/ (a^3 + c^3 + 1) <= 1

in progress 0
Cora 1 tháng 2021-11-10T20:40:54+00:00 2 Answers 4 views 0

Answers ( )

    0
    2021-11-10T20:42:05+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Áp dụng bất đẳng thức co-si 

     Ta có a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)

    Tương tự b³+c³≥bc(b+c)

                     c³+a³≥ac(a+c)

    A=$\frac{1}{a^3+b^3+1}$ +$\frac{1}{b^3+c^3+1}$ +$\frac{1}{c^3+a^3+1}$ 

    Thay abc=1 vào ta có

    A=$\frac{1}{a^3+b^3+abc}$ +$\frac{1}{b^3+c^3+abc}$ + $\frac{1}{c^3+a^3+abc}$ 

    ≤$\frac{1}{ab(a+b+c)}$ +$\frac{1}{bc(a+b+c)}$ + $\frac{1}{ac(a+b+c)}$ 

    =$\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}$ =abc=1

    Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

    0
    2021-11-10T20:42:23+00:00

    Ta có bđt: `x^3+y^3\ge xy(x+y)`

    Thật vậy: `⇔(x+y)(x^2-xy+y^2)\ge xy(x+y)`

    `⇔x^2-xy+y^2\ge xy`

    `⇔(x-y)^2\ge 0` (luôn đúng)

    Áp dụng ta có:

    `A=1/(a^3+b^3+c^3)+1/(b^3+c^3+1)+1/(c^3+a^3+1)`

    `A\le 1/[ab(a+b)+abc]+1/[bc(b+c)+abc]+1/[ac(a+c)+abc]`

    `A\le 1/[ab(a+b+c)]+1/[bc(a+b+c)]+1/[ac(a+b+c)]`

    `A\le (a+b+c)/[abc(a+b+c)]`

    `A\le 1/(abc)=1` `(Đpcm)`

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )