Cho a,b,c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng 1/(a^3+b^3+1) + 1/ (b^3+c^3+1) +1/ (a^3 + c^3 + 1) <= 1

0 bình luận về “Cho a,b,c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng 1/(a^3+b^3+1) + 1/ (b^3+c^3+1) +1/ (a^3 + c^3 + 1) <= 1”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Áp dụng bất đẳng thức co-si 

    Ta có a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)

   Tương tự b³+c³≥bc(b+c)

                    c³+a³≥ac(a+c)

   A=$\frac{1}{a^3+b^3+1}$ +$\frac{1}{b^3+c^3+1}$ +$\frac{1}{c^3+a^3+1}$ 

   Thay abc=1 vào ta có

   A=$\frac{1}{a^3+b^3+abc}$ +$\frac{1}{b^3+c^3+abc}$ + $\frac{1}{c^3+a^3+abc}$ 

   ≤$\frac{1}{ab(a+b+c)}$ +$\frac{1}{bc(a+b+c)}$ + $\frac{1}{ac(a+b+c)}$ 

   =$\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}$ =abc=1

   Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

   Trả lời

2. Ta có bđt: `x^3+y^3\ge xy(x+y)`

   Thật vậy: `⇔(x+y)(x^2-xy+y^2)\ge xy(x+y)`

   `⇔x^2-xy+y^2\ge xy`

   `⇔(x-y)^2\ge 0` (luôn đúng)

   Áp dụng ta có:

   `A=1/(a^3+b^3+c^3)+1/(b^3+c^3+1)+1/(c^3+a^3+1)`

   `A\le 1/[ab(a+b)+abc]+1/[bc(b+c)+abc]+1/[ac(a+c)+abc]`

   `A\le 1/[ab(a+b+c)]+1/[bc(a+b+c)]+1/[ac(a+b+c)]`

   `A\le (a+b+c)/[abc(a+b+c)]`

   `A\le 1/(abc)=1` `(Đpcm)`

    

   Trả lời