Cho a+b+c=3; a^2+b^2+c^2=5; a^3+b^3+c^3=7 Tính a^4+b^4+c^4 và a^5+b^5+c^5

0 bình luận về “Cho a+b+c=3; a^2+b^2+c^2=5; a^3+b^3+c^3=7 Tính a^4+b^4+c^4 và a^5+b^5+c^5”

1. Đáp án:

   $ a^{4} + b^{4} + c^{4} = 81$

   $ a^{5} + b^{5} + c^{5} = 151$

   Giải thích các bước giải:

   $ ab + bc + ca = \frac{1}{2}[(a  + b + c)² – (a² + b² + c²)] = \frac{1}{2}(3² – 5) = 2$

   $ (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – 3abc$

   $ ⇒ 3abc = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – (a + b + c)³$

   $ = 7 + 3.3.2 – 3³ = 16 ⇒ abc = \frac{16}{3} $

   $ a^{4} + b^{4} + c^{4} = (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + b²c² + c²a²) $

   $ = 25 – 2[(ab + bc + ca)² – 2abc(a + b + c)]$

   $ = 25 – 2(2² – 2.\frac{16}{3}.3) = 81$

   $ 35 = 5.7 = (a² + b² + c²)(a³ + b³ + c³)$

   $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a²b²(a + b) + b²c²(b + c) + c²a²(c + a)$

   $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a²b²(3 – c) + b²c²(3 – a) + c²a²(3 – b)$

   $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3(a²b² + b²c² + c²a²) – 3abc(ab + bc + ca)$

   $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3[(ab + bc + ca)² – 2abc(a + b + c)] – 3abc(ab + bc + ca)$

   $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + 3(2² – 2\frac{16}{3}.3) – 3\frac{16}{3}.2$ 

   $ = a^{5} + b^{5} + c^{5} – 116$

   $ ⇒ a^{5} + b^{5} + c^{5} = 35 + 116 = 151$

   Trả lời

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Có `a+b+c = 0`
   `⇒ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) = 0`
   mà `a^2+b^2+c^2 = 5`
   `⇒ ab+bc+ac = -\frac{5}{2}`
   `⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2ab^2c+2a^2bc+2abc^2 =\frac{25}{4}`
   `⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 + 2abc(b+a+c) = \frac{25}{4}`
   `⇒ a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 = \frac{25}{4} `
   Ta bình phương `a^2+b^2+c^2` lên
   ĐK:
   `a^4+b^4+c^4 + 2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2=25`
   `⇒a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) = 25`
   Mà `a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 = \frac{25}{4}`
   `⇒a^4+b^4+c^4 +\frac{25}{2} =25`
   `⇒a^4+b^4+c^4 = \frac{25}{2}`

   Trả lời