cho (a + b + c) ² = 3(ab + bc + ca) chứng minh rằng: a= b = c (Nhớ đọc kĩ đề, làm đúng và giải thích rõ ràng. Làm sai mình không tích so đâu)

0 bình luận về “cho (a + b + c) ² = 3(ab + bc + ca) chứng minh rằng: a= b = c (Nhớ đọc kĩ đề, làm đúng và giải thích rõ ràng. Làm sai mình không tích so đâu)”

1. Ta có

   $( a +b+c)^2 = 3(ab+bc +ca)$

   => $a^2 +b^2+c^2 +2ab +2bc+ 2ac – 3ab – 3bc – 3ac = 0$

   => $ a^2 + b^2 + c^2 – ab – ac – bc = 0$

   => $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2ac – 2bc = 0$ (nhân cả hai vế với 2)

   => $( a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ac +a^2) = 0$

   => $( a -b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$

   Ta có $( a -b)^2 \geq 0 $

   $( b-c)^2 \geq 0 $

   $( c-a)^2 \geq 0 $

   Nên $( a -b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0$ khi

   $a – b = 0 ; b – c = 0 ; c – a = 0$

   $=> a = b = c$ ( điều phải chứng minh)

   Trả lời

2.     $(a + b + c)^{2}$ =3(ab+ac+bc)
   ⇔$a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ +2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
   ⇔$a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ -ab-ac-bc=0
   ⇔ $2a^{2}$ + $2b^{2}$ + $2c^{2}$ 2ab-2ac-2bc=0
   ⇔ ($a^{2}$ – 2ab + $b^{2}$) + ($b^{2}$ – 2bc + $c^{2}$) + ($c^{2}$ – 2ca +$a^{2}$ ) = 0
   ⇔ (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0
   Ta có : 

   $(a-b)^{2}$≥ 0
   $(b-c)^{2}$ ≥ 0
   $(c-a)^{2}$≥ 0
   Dấu “=” xảy ra khi : a = b
   b = c
   c = a
   ⇔ a = b = c (đpcm)

    

   Trả lời