Cho $a;b;c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ Tìm GTNN của biểu thức: $P=\dfrac{1}{1+6a^2}+\dfrac{1}{1+6b^2}+\dfrac{1}{1+6c^2}$

0 bình luận về “Cho $a;b;c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ Tìm GTNN của biểu thức: $P=\dfrac{1}{1+6a^2}+\dfrac{1}{1+6b^2}+\dfrac{1}{1+6c^2}$”

1. Đáp án:

   `P_{\text{Min}}=9/5` 

   Giải thích các bước giải:

   Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử `a>=b>=c`

   `+)` Nếu `c>=1/12` thì `a>=b>=1/12`

   `=>\frac{3(12c – 1)(3c – 1)^2}{25(1+6c^2)}>=0`

   `<=>\frac{1}{1+6c^2}+\frac{36c-27}{25}>=0`

   `<=>\frac{1}{1+6c^2}>=\frac{-36c+27}{25}`

   Tương tự, ta có:

   `\frac{1}{1+6a^2}>=\frac{-36a+27}{25}`

   `\frac{1}{1+6b^2}>=\frac{-36b+27}{25}`

   Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 

   `P=\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}+\frac{1}{1+6c^2}>=\frac{-36a+27}{25}+\frac{-36b+27}{25}+\frac{-36c+27}{25}`

   `=\frac{-36(a+b+c)+81}{25}=9/5`

   `+)` Nếu `1/12>c>=0`

   Ta có:

   `\frac{1}{6b^2+1}-\frac{-24b+22}{25}=\frac{3(2b-1)^2(12b+1)}{25(6b^2+1)}>= 0`

   `=>\frac{1}{6b^2+1}>=\frac{-24b+22}{25}` `(1)`

   Tương tự, ta có:

   `\frac{1}{6b^2+1}>=\frac{-24a+22}{25}` `(2)`

   Từ `(1)` và `(2)`

   `=>\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}>=\frac{-24(a+b)+44}{25}` `(3)`

   Lại có:

   `\frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}-\frac{9}{5}=\frac{30c(24c^2-25c+4)}{125(6c^2+1)}>=0`

   `=>\frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}>=\frac{9}{5}` `(4)`

   Từ `(3)` và `(4)`

   `=>P=\frac{1}{1+6a^2}+\frac{1}{1+6b^2}+\frac{1}{1+6c^2}>=\frac{-24(a+b)+44}{25}>=\frac{-24(1-c)+44}{25}+\frac{1}{6c^2+1}>=\frac{9}{5}` 

   `=>` Với mọi trường hợp thì GTNN của `P` là `9/5`

   Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c=1/3` hoặc `a=b=1/2` `;` `c=0` và các hoán vị

   Trả lời