Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$

0 bình luận về “Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}= \frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

   Ta có : $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)= 9abc\Rightarrow \frac{3}{abc}\geq \frac{27}{(ab+bc+ca)^2}$

   Vậy ta cần chứng minh
    $\frac{27}{(ab+bc+ca)^2}\geq a^2+b^2+c^2$
   $\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq 27$

   Áp dụng AM-GM ta được: $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq (\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}{3})^3$
   $= \frac{(a+b+c)^6}{27}= \frac{3^6}{27}= 27$

   Trả lời