cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho mỗi số nhỏ hơn tổng của hai số kia. Chứng minh rằng: a/b+c + b/c+a + c/b+a < 2

0 bình luận về “cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho mỗi số nhỏ hơn tổng của hai số kia. Chứng minh rằng: a/b+c + b/c+a + c/b+a < 2”

1. Đặt `A= a/(b+c) + b/(c+a) + c/(b+a)`

   Ta có:

   `a/(b+c) < (a+a)/(a+b+c) = (2a)/(a+b+c) (1)`

   `b/(c+a) < (b+b)/(a+b+c) = (2b)/(a+b+c) (2)`

   `c/(b+a) < (c+c)/(a+b+c) = (2c)/(a+b+c) (3)`

   Từ `(1) ; (2);(3)` cộng vế với vế ta được:

   `a/(b+c) + b/(c+a) + c/(b+a) < (2a)/(a+b+c) + (2b)/(a+b+c) + (2c)/(a+b+c) `

   `=> A< (2a+2b+2c)/(a+b+c)`

   `=> A< (2(a+b+c))/(a+b+c)`

   `=> A <2`

   Vậy `a/(b+c) + b/(c+a) + c/(b+a) <2 `

    

   Trả lời

2. Đáp án:

   `text{Ta có :}`

   \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b + c} < \dfrac{2a}{a + b + c}\\ \dfrac{b}{c+a} < \dfrac{2b}{a + b  + c}\\ \dfrac{c}{b + a} < \dfrac{2c}{a + b + c}\end{array} \right.\) `text{(*)}`

   `text{Từ (*) cộng theo vế ta được :}`

   `⇔ a/(b + c) + b/(c + a) + c/(b + a) < (2a)/(a + b + c) + (2b)/(a + b + c) + (2c)/(a + b + c)`

   `⇔ a/(b + c) + b/(c + a) + c/(b + a) < (2a + 2b + 2c)/(a + b  + c)`

   `⇔ a/(b + c) + b/(c + a) + c/(b + a) < (2 (a + b + c) )/(a + b + c)`

   `⇔ a/(b + c) + b/(c + a) + c/(b + a) < 2 (đpcm)`

    

   Trả lời