cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a>b>c Cmr : B = $\frac{a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}$ là một số nguyên

0 bình luận về “cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn a>b>c Cmr : B = $\frac{a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}$ là một số nguyên”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$

   $=a^4(a+b-a-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$

   $=-a^4(c-a)-a^4(a-b)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$

   $=(b^4-a^4)(c-a)+(c^4-a^4)(a-b)$

   $=(b^2+a^2)(b^2-a^2)(c-a)+(c^2-a^2)(c^2+a^2)(a-b)$

   $=(b^2+a^2)(b-a)(b+a)(c-a)+(c-a)(c+a)(c^2+a^2)(a-b)$

   $=(b-a)(c-a)[(b^2+a^2)(a+b)-(c+a)(c^2+a^2)]$

   $=(b-a)(c-a)[ab^2+a^3+b^3+a^2b-c^3-ac^2-a^3-a^2c]$

   $=(b-a)(c-a)[(ab^2-ac^2)+(a^2b-a^2c)+(b^3-c^3)]$

   $=(b-a)(c-a)[a(b^2-c^2)+a^2(b-c)+(b-c)(b^2+bc+c^2)]$

   $=(b-a)(c-a)[a(b-c)(b+c)+a^2(b-c)+(b-c)(b^2+bc+c^2)]$

   $=(b-a)(c-a)(b-c)(ab+ac+a^2+b^2+c^2+bc)$

   Mà $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ca+a^2$

   $\to (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$

   $\to B=\dfrac{(b-a)(c-a)(b-c)(ab+ac+a^2+b^2+c^2+bc)}{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}$

   $\to B=\dfrac{(b-a)(c-a)(b-c)}{2}$

   Vì $a,b,c\in Z\to $ tồn tại ít nhất $2$ số cùng tính chẵn lẻ

   $\to$Hiệu $2$ số đó chia hết cho $2$

   $\to B=\dfrac{(b-a)(c-a)(b-c)}{2}\in Z$

   Trả lời