Cho a,b,c là các số thực dương thoả abc $\geq$ 1 ‘Chứng“minh“răng“\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}`+`\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}`+`\frac{c^5-c^2}{c^5+a

Question

Cho a,b,c là các số thực dương thoả abc $\geq$ 1
‘Chứng“minh“răng“\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}`+`\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}`+`\frac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}` ≥0

in progress 0
Alice 5 ngày 2021-12-07T21:59:10+00:00 1 Answers 4 views 0

Answers ( )

    0
    2021-12-07T22:00:41+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

     BĐT đã cho tương đương:

    $\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}-1+\dfrac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}-1+\dfrac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}-1 \geq 0-3$

    $⇔\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{b^5+a^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{c^5+a^2+b^2} \leq 3$

    Đặt $P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{b^5+a^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{c^5+a^2+b^2}$

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

    $(a^5+b^2+c^2)\left(\dfrac{1}{a}+b^2+c^2 \right) \geq (a^2+b^2+c^2)^2$

    $⇒\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2} \leq \dfrac{\dfrac{1}{a}+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}$

    Hoàn toàn tương tự:

    $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{b^5+a^2+c^2} \leq \dfrac{\dfrac{1}{b}+a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}$

    $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{c^5+a^2+b^2} \leq \dfrac{\dfrac{1}{c}+a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}$

    Cộng vế với vế:

    $⇒P \leq \dfrac{\dfrac{1}{a}+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\dfrac{1}{b}+a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\dfrac{1}{c}+a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}$

    $⇔P \leq \dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$

    $⇔P \leq \dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{a^2+b^2+c^2}+2$

    $⇔P \leq \dfrac{\dfrac{ab+bc+ca}{abc}}{a^2+b^2+c^2}+2$

    $⇒P \leq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+2 \leq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+2=3$ (đpcm)

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )