Toán Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CM a/b+c + b/a+c + c/a+c<2 25/08/2021 By Ximena Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CM a/b+c + b/a+c + c/a+c<2
Áp dụng bất đẳng thức Δ ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{matrix}\right.\) Ta lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\) ⇒ \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\) \(\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\) \(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\) Cộng vế theo vế ta được : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\) ⇒ đpcm Trả lời
Giải thích các bước giải: Do `a,b,c` là `3` cạnh của `1` tam giác `=>a,b,c>0` Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: $\left\{\begin{matrix}a<b+c\\b<a+c\\c<a+b\end{matrix}\right.$`=>`$\left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{b+c}<1\\\dfrac{b}{a+c}<1\\\dfrac{c}{a+b}<1\end{matrix}\right.$ Mà `a/b<(a+m)/(b+m)` `(a/b<1;a,b,m>0)` `=>`$\left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{b+c}<\dfrac{a+a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{a+b+c}\\\dfrac{b}{a+c}<\dfrac{b+b}{a+b+c}=\dfrac{2b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{a+b}<\dfrac{c+c}{a+b+c}=\dfrac{ca}{a+b+c}\end{matrix}\right.$ `=>a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<(2a)/(a+b+c)+(2b)/(a+b+c)+(2c)/(a+b+c)=(2a+2b+2c)/(a+b+c)=(2(a+b+c))/(a+b+c)=2` Vậy `a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2.` Trả lời
Áp dụng bất đẳng thức Δ ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{matrix}\right.\)
Ta lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)
⇒
\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\)
⇒ đpcm
Giải thích các bước giải:
Do `a,b,c` là `3` cạnh của `1` tam giác `=>a,b,c>0`
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
$\left\{\begin{matrix}a<b+c\\b<a+c\\c<a+b\end{matrix}\right.$`=>`$\left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{b+c}<1\\\dfrac{b}{a+c}<1\\\dfrac{c}{a+b}<1\end{matrix}\right.$
Mà `a/b<(a+m)/(b+m)` `(a/b<1;a,b,m>0)`
`=>`$\left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{b+c}<\dfrac{a+a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{a+b+c}\\\dfrac{b}{a+c}<\dfrac{b+b}{a+b+c}=\dfrac{2b}{a+b+c}\\\dfrac{c}{a+b}<\dfrac{c+c}{a+b+c}=\dfrac{ca}{a+b+c}\end{matrix}\right.$
`=>a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<(2a)/(a+b+c)+(2b)/(a+b+c)+(2c)/(a+b+c)=(2a+2b+2c)/(a+b+c)=(2(a+b+c))/(a+b+c)=2`
Vậy `a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2.`