Cho ΔABC, vẽ đường cao AK. D,E lần lượt là trung điểm của BC, AC. CÁc trung trực của BC, AC cắt nhau tại O. G là trọng tâm, H là trực tâm của Δ ABC.

0 bình luận về “Cho ΔABC, vẽ đường cao AK. D,E lần lượt là trung điểm của BC, AC. CÁc trung trực của BC, AC cắt nhau tại O. G là trọng tâm, H là trực tâm của Δ ABC.”

1. a) Ta có E là trung điểm AC (gt)

   D là trung điểm BC (gt)

   Suy ra DE là đường trung bình của ∆ABC

   Hay DE // AB ; DE = AB/2

   Suy ra góc ABC = góc EDC (đồng vị)

   Góc BAC = góc DEC (đồng vị)

   Ta có:

   Góc BAC + góc ABK = 90 độ

   Góc ODE + góc EDC = 90 độ (O thuộc trung trực của BC nên OD vuông BC)

   Mà góc BAC = góc EDC

   Nên góc ABK = góc ODE

   Chứng minh tương tự, ta được: góc ABH = góc OED

   b) Xét ∆AHB và ∆DOE có

   Góc BAH = góc ODE (câu a)

   Góc ABH = góc OED (chứng minh ở câu a)

   Do đó ∆AHB ~ ∆DOE (g.g)

   c) Ta có OD/AH = DE/AB = 1/2 (∆AHB ~ ∆DOE)

   GD/AG = 1/2 (G là trọng tâm)

   Xét ∆AHG và ∆DOG có

   OD/AH = GD/GA = 1/2

   Góc HAG = góc GDO (so le trong, AH//OD do cùng vuông BC)

   Do đó ∆AHG ~ ∆DOG (c.g.c)

   d) Do ∆AHG ~ ∆DOG (câu c)

   Suy ra góc AGH = góc DGO

   Mà góc AGH và góc DGO ở vị trí đối đỉnh

   A, G, D thẳng hàng

   Nên H, G, O thẳng hàng

   Chú thích

   H là trực tâm, G là trọng tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng tạo thành một đường thẳng. Đường thẳng này là đường thẳng Euler (Ơ-le).

   Từ hai tam giác đồng dạng ở câu c, ta được HG = 2OG

   Trả lời