Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=6$ .Tính Max của biểu thức $P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$

Question

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=6$ .Tính Max của biểu thức $P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$

in progress 0
Hadley 4 tháng 2021-08-14T20:23:39+00:00 2 Answers 14 views 0

Answers ( )

    0
    2021-08-14T20:25:08+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Theo bdt cosi- svac cho 3 số thực dương, ta có

     $P = \sqrt{x+y} + \sqrt{y+z} + \sqrt{z + x} ≤\sqrt{(1 +1 + 1)(x + y + y + z + z + x)} = \sqrt{3.12 } =\sqrt{36} =  6$

    Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = 2$

    Vậy GTLN là 6 khi x = y = z = 2

    0
    2021-08-14T20:25:31+00:00

    Đáp án:

    `P_{max}=6` khi `x=y=z=2`

    Giải thích các bước giải:

    Đặt: $\begin{cases}a=\sqrt{x+y}\\b=\sqrt{y+z}\\c=\sqrt{z+x}\end{cases}\ (a;b;c\ge 0)$

    Vì `x+y+z=6`

    `=>a^2+b^2+c^2=2(x+y+z)=12`

    Ta có:

    `(a-b)^2\ge 0<=>a^2+b^2\ge 2ab`

    `(b-c)^2\ge 0<=>b^2+c^2\ge 2bc`

    `(a-c)^2\ge 0<=>a^2+c^2\ge 2ac`

    `=>2(a^2+b^2+c^2)\ge 2ab+2bc+2ac`

    `<=>a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)`

    `\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac`

    `<=>3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2`

    `<=>3.12\ge (a+b+c)^2`

    `<=>a+b+c\le 6` (vì `a+b+c\ge 0)`

    Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=2`

    `=>x=y=z=2`

    Vậy `P=\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}` có $GTLN$ bằng $6$ khi `x=y=z=2`

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )