Cho (C): x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0 tìm M thuộc (C) sao cho d(M;denlta) ngắn nhất với delta: x – y + 3 = 0

Question

Cho (C): x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0 tìm M thuộc (C) sao cho d(M;denlta) ngắn nhất với delta: x – y + 3 = 0

in progress 0
Athena 4 tuần 2021-11-14T01:59:13+00:00 1 Answers 2 views 0

Answers ( )

    0
    2021-11-14T02:00:17+00:00

    Ta có 

    $(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$

    Ta viết ptrinh đường thẳng $d$ qua tâm $I(1,-2)$ và vuông góc với $\Delta: x – y + 3 = 0$

    Do $d \perp \Delta$ nên $n_d = u_{\Delta} = (1,1)$

    Lại có $d$ qua $I(1,-2)$ nên ta có

    $d: x – 1 + y + 2 = 0$

    $<-> d: x + y + 1 = 0$

    Ta tìm giao điểm của $d$ với đường tròn $(C)$, khi đó là nghiệm của hệ

    $\begin{cases} x + y + 1 = 0\\ (x-1)^2  + (y+2)^2 = 4 \end{cases}$

    Từ ptrinh đầu ta suy ra $y = -x-1$. Thế vào ptrinh sau ta có

    $(x-1)^2 + (-x-1+2)^2 = 4$

    $<-> 2(x-1)^2 = 4$

    $<-> (x-1)^2 = 2$

    $<-> |x-1| = \sqrt{2}$

    Vậy $x = 1 + \sqrt{2}$ hoặc $x = 1 – \sqrt{2}$

    Khi đó ta có $y = -2 – \sqrt{2}$ hoặc $y = -2 + \sqrt{2}$.

    Vậy hai giao điểm $A(1 + \sqrt{2}, -2 – \sqrt{2})$ và $B(1 – \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$.

    Ta tính khoảng cách từ hai giao điểm đến $\Delta$.

    $d(A, \Delta) = \dfrac{|1 + \sqrt{2} -(-2 – \sqrt{2}) + 3|}{\sqrt{1 +1^2}} = \dfrac{6 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

    $d(B, \Delta) = \dfrac{|1 – \sqrt{2} – (-2 + \sqrt{2}) + 3|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6 – 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 

    Ta thấy $d(B, \Delta) < d(A, \Delta)$

    Vậy điểm thỏa mãn đề bài là $B(1 – \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$.

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )