Cho các số dương a.b thỏa mãn : a + b + 1 = 8ab Tìm GTNN của biểu thức : $\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$

Question

Cho các số dương a.b thỏa mãn :
a + b + 1 = 8ab
Tìm GTNN của biểu thức : $\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$

in progress 0
Sadie 4 tháng 2021-08-11T11:08:44+00:00 2 Answers 13 views 0

Answers ( )

    0
    2021-08-11T11:09:44+00:00

    Đặt `B=(a²+b²)/(a²b²)`

    `a+b+1=8ab=>1/a+1/b+1/ab=8`

    Thay `x=1/a;y=1/b` được `x+y+xy=8`

    `->B=1/(a^2)+1/(b^2)=x²+y^2`

     `x+y+xy<=`$\sqrt[]{2(x²+y²)}+\dfrac{x²+y²}{2}=8$

    `<=>(`$\sqrt[]{x²+y²}+4\sqrt[]{2}).(\sqrt[]{x²+y²}-2\sqrt[]{2})$`>=0`

    `<=>` $\sqrt[]{x²+y²}$`>=`$2\sqrt[]{2}$

    `<=>x²+y²>=8`

    Vậy `Min_A=8` khi $\begin{cases}x=y=2\\a=b=\dfrac{1}{2}\end{cases}$

    0
    2021-08-11T11:10:05+00:00

    Đáp án:

     `min = 8 <=> a=b=1/2`

    Giải thích các bước giải:

     Ta có:

    `a+b + 1 = 8ab`

    `<=> 1/a + 1/b + 1/(ab) =8`

    Đặt `x=1/a` và `y =1/b`

    `=> x + y + xy = 8`

    `=> 1/a^2 + 1/b^2 = x^2 + y^2`

    `8 = x+y+xy le sqrt(2(x^2 + y^2)) + (x^2 +y^2)/2`

    `<=> x^2 + y^2 + 2sqrt2 * sqrt (x^2 + y^2) – 16 ge 0`

    `<=> (sqrt(x^2 + y^2) + 4sqrt2) *(sqrt(x^2 + y^2) – 2sqrt2) ge 0`

    `<=> sqrt(x^2 + y^2) ge 2 sqrt2`

    `<=> x^2 + y^2 ge 8`

    `=> min = 8 <=> x = y = 2` hay `a=b = 1/2`

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )