Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a^2}$ + $\frac{1}{b^2}$ + $\frac{1}{c^2}$ =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= $\frac{b^2c^2}

Question

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a^2}$ + $\frac{1}{b^2}$ + $\frac{1}{c^2}$ =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P= $\frac{b^2c^2}{a(b^2+c^2)}$+ $\frac{c^2a^2}{b(c^2+a^2)}$+ $\frac{a^2b^2}{c(a^2+b^2)}$

in progress 0
Valentina 1 năm 2021-10-02T19:48:52+00:00 1 Answers 4 views 0

Answers ( )

  1. mytam
    0
    2021-10-02T19:50:50+00:00
    Reply

    Đặt $\dfrac{1}{a}=x;\dfrac{1}{b}=y;\dfrac{1}{c}=z$

    $→x^2+y^2+z^2=1$

    Khi đó:
    $P=\dfrac{1}{\dfrac{a(b^2+c^2)}{b^2c^2}}+\dfrac{1}{\dfrac{b(c^2+a^2)}{c^2a^2}}+\dfrac{1}{\dfrac{c(a^2+b^2)}{a^2b^2}}$

    $=\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}}+\dfrac{\dfrac{1}{c}}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}}$

    $=\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{x^2+z^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2}$

    $=\dfrac{x}{1-x^2}+\dfrac{y}{1-y^2}+\dfrac{z}{1-z^2}$

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $1-x^2=\dfrac{1}{\sqrt[]2x}.\sqrt[]{2.x^2.(1-x^2)(1-x^2)}$

    $\leq \dfrac{1}{\sqrt[]2x}.\sqrt[]{\dfrac{(2x^2+1-x^2+1-x^2)^3}{27}}$

    $=\dfrac{1}{\sqrt[]2x}.\sqrt[]{\dfrac{8}{27}}$

    $=\dfrac{2}{3.\sqrt[]3x}$

    Hay $1-x^2 \leq \dfrac{2}{3\sqrt[]3x}$

    suy ra $\dfrac{x}{1-x^2} \geq \dfrac{x}{ \dfrac{2}{3\sqrt[]3x}}$

    $=\dfrac{3.\sqrt[]3}{2}.x^2$

    Chứng minh tương tự có: $\dfrac{y}{1-y^2} \geq \dfrac{3.\sqrt[]3}{2}.y^2$

    $\dfrac{z}{1-z^2} \geq \dfrac{3.\sqrt[]3}{2}.z^2$

    Nên $P=\dfrac{x}{1-x^2}+\dfrac{y}{1-y^2}+\dfrac{z}{1-z^2} \geq \dfrac{3.\sqrt[]3}{2}.(x^2+y^2+z^2)=\dfrac{3.\sqrt[]3}{2}$

    do $x^2+y^2+z^2=1$

    Dấu $=$ xảy ra $⇔x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt[]3}⇔a=b=c=\sqrt[]3$

    Vậy $MinP=\dfrac{3.\sqrt[]3}{2}$ tại $a=b=c=\sqrt[]3$

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )