Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3 . Tìm GTNN của P=1+$\frac{3}{xy+yz+xz}$

0 bình luận về “Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3 . Tìm GTNN của P=1+$\frac{3}{xy+yz+xz}$”

1. Đáp án:

    Ta có : 

   `(x – y)^2 + (y – z)^2 + (z – x)^2 >= 0`

   `=> 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 2xy -2yz -2zx >= 0`

   `=> 2(x^2 + y^2 + z^2) >= 2(xy + yz + zx)`

   `=> x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + zx`

   `=> x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) >= xy + yz + zx + 2(xy + yz + zx)`

   `=> (x + y + z)^2 >= 3(xy + yz + zx)`

   Do đó : `P = 1 + 3/(xy + yz + zx) = 1 + 9/[3(xy + yz + zx)] >= 1 + 9/(x + y + z)^2 = 1 + 9/3^2 = 2`

   Dấu “=” xảy ra `<=> x = y=  z = 1`

   Vậy GTNN của `P` là `2 <=> x = y = z = 1`

   Giải thích các bước giải:

    

   Trả lời