Cho đa thức f(x)=ax^2 + bx + c chứng minh nếu f(0); f(1); f(-1); f(1/2) là các số nguyên thì a; b; c đều là số nguyên

Question

Cho đa thức f(x)=ax^2 + bx + c chứng minh nếu f(0); f(1); f(-1); f(1/2) là các số nguyên thì a; b; c đều là số nguyên

in progress 0
Arianna 1 năm 2021-07-05T19:51:28+00:00 2 Answers 64 views 0

Answers ( )

    0
    2021-07-05T19:53:25+00:00

    Đáp án:

    Giải thích các bước giải:

    Ta có:

    `+)f(0)∈ZZ⇒a.0^2+b.0+c∈ZZ⇒c∈ZZ(1)`

    `+)f(1)∈ZZ⇒a+b+c∈ZZ`

    `+) f(-1)∈ZZ⇒a-b+c∈ZZ`

    `+)f(\frac{1}{2})⇒\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c∈ZZ`

    Từ `(1)⇒a+b,a-b,\frac{a}{4}+\frac{b}{2}∈ZZ`

    Do đó:

    `+)(a+b)+(a-b)∈ZZ⇒2a=x∈ZZ`

    `+)(a+b)-(a-b)∈ZZ⇒2b∈ZZ⇒4b=2y∈ZZ`

    `+)\frac{a}{4}+\frac{b}{2}⇒frac{a+2b}{4}=\frac{2a+4b}{8}∈Z⇒2a+4b` chẵn

    `⇒x+2y` chẵn mà `2y` chẵn`⇒x` chẵn`⇒\frac{x}{2}∈ZZ⇒a∈ZZ(2)`

    Lại có `a+b∈ZZ⇒b∈ZZ(3)`

    Từ `(1)(2)(3)⇒`đpcm

    0
    2021-07-05T19:53:27+00:00

    `f(x)=ax^2+bx+c`

    Thay `x=0; x=1; x=-1; x=1/2` vào `f(x)` ta có:

    `f(0)=c` 

    `f(1)=a+b+c` (1)

    `f(-1)=a-b+c` (2)

    `f(1/2)=1/4a+1/2b+c`

    Do `f(0)` là số nguyên `-> c` nguyên (*)

    Từ (1)(2)`-> f(1)+f(-1)=2a+2c`

    Do `c` nguyên và `f(1);f(-1)` nguyên `->2 a` nguyên 

    Từ (1)(2)`-> f(1)-f(-1)=2b`

    Do `f(1);f(-1)` nguyên `-> 2b` nguyên 

    Đặt `2a=x; 2b=y` (`x;y ∈Z`)

    `-> a=x/2; b=y/2`

    Do `f(1/2)` và c nguyên `-> a+2b` nguyên

    Thay `a=x/2; b=y/2` vào `f(1/2)` ta có:

    ` 1/4. x/2+1/2. y/2`

    `=1/8x+1/4y`

    `=(x+2y)/8`

    `-> x+2y` chẵn

    Mà `2y` chẵn `-> x chẵn `-> x/2` nguyên `-> a` nguyên (**)

    `(1) -> a+b` nguyên

    `-> b` nguyên (***)

    Theo (*)(**)(***)`-> đpcm`

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )