Cho đoạn thẳng `AB=a` cố định. Từ điểm `M` bất kì trên `AB` dựng hai hình vuông `AMEF` và `PMBQ `trên cùng một nửa mặt phẳng. `AD` cắt `BE` tại `N`.

Question

Cho đoạn thẳng `AB=a` cố định. Từ điểm `M` bất kì trên `AB` dựng hai hình vuông `AMEF` và `PMBQ `trên cùng một nửa mặt phẳng. `AD` cắt `BE` tại `N`.
a) Chứng minh `AD` vuông góc `BE, AD=BE`
b)Chứng minh `F,N,Q` thẳng hàng
c) Chứng minh `MN` vuông góc `FQ`
d) Chứng minh tam giác `ABI` vuông cân
e)Tìm vị trị `M` để `MN` có độ dài lớn nhất
4 câu đầu là gợi ý các bước giải cho câu cuối, cần nhất câu cuối ạ

in progress 0
Camila 1 năm 2021-07-20T13:54:51+00:00 1 Answers 9 views 0

Answers ( )

    0
    2021-07-20T13:56:33+00:00

    a) Xét $∆AMP$ và $∆EMB$ có:

    $AM = ME$

    $MP = MB$

    $\widehat{AMP} = \widehat{EMB} = 90^o$

    Do đó $∆AMP = ∆EMB$ (hai cạnh góc vuông)

    $\Rightarrow \widehat{APM} = \widehat{EBM}; \, AP = BE$

    mà $\widehat{APM} + \widehat{MAP} = 90^o$

    nên $\widehat{EBM} + \widehat{MAP} = 90^o$

    $\Rightarrow AP\perp BE$

    b) Gọi $O, O’$ lần lượt là tâm của $AMEF$ và $BMPQ$

    Do $O$ là tâm của $AMEF$

    nên $OA = OM = OE = OF$

    Xét $∆ANE$ vuông tại $N$ có:

    $OA = OE = \dfrac{1}{2}AE$

    $\Rightarrow  ON = OE = OA$

    $\Rightarrow ON = OF = OM$

    $\Rightarrow ∆FMN$ vuông tại $N$

    Hay $\widehat{FNM} = 90^o$

    Chứng minh tương tự với tâm $O’$ ta được

    $\widehat{QNM} = 90^o$

    $\Rightarrow \widehat{FNM} + \widehat{QNM} = 180^o$

    $\Rightarrow F, N, Q$ thẳng hàng

    c) Ta có: $\widehat{FNM} = 90^o$ (câu b)

    $\Rightarrow MN\perp FQ$

    d) Với $I= AE\cap BP$

    Ta có:

    $\widehat{IAB} = \widehat{IBA} = 45^o$

    $\Rightarrow ∆IAB$ vuông cân tại $I$

    e) Xét tứ giác $MO’IO$ có:

    $\widehat{I} = \widehat{O’} = \widehat{O} = 90^o$

    Do đó $MO’IO$ là hình chữ nhật

    $\Rightarrow \widehat{FMQ} = 90^o$

    Áp dụng hệ thức lượng trong $∆FMQ$ vuông tại $M$ đường cao $MN$ ta được:

    $\dfrac{1}{MN^2} = \dfrac{1}{MF^2} + \dfrac{1}{MQ^2}$

    $\Leftrightarrow MN^2 = \dfrac{MF^2.MQ^2}{MF^2 + MQ^2}$

    Ta có:

    $MF^2 + MQ^2 \geq 2MF.MQ$

    $\Rightarrow \dfrac{MF^2.MQ^2}{MF^2 + MQ^2} \leq \dfrac{MF^2.MQ^2}{2MF.MQ} = \dfrac{MF.MQ}{2} = \dfrac{MF}{\sqrt2}\cdot\dfrac{MQ}{\sqrt2} = AM.BM$

    $\Rightarrow MN \leq \sqrt{AM.BM} \leq \sqrt{\dfrac{(AM + BM)^2}{4}} = \dfrac{AM + BM}{2} = \dfrac{AB}{2}$

    Vậy $MN$ lớn nhất $\Leftrightarrow MN = \dfrac{AB}{2}$

    Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AM = BM$

    $\Leftrightarrow M$ là trung điểm $AB$

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )