Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. M là điểm chính giữa của cung AB, K là một điểm bất kỳ trên cyng nhỏ BM.Gọi H là chân dường vuông góc kẻ từ M xuống AK. CMR: AHOM là tứ giác nội tiếp;OH là phân giác góc MOK;Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB. Xác định vị trí của K để chu vi tam giác OPK lớn nhất.
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. M là điểm chính giữa của cung AB, K là một điểm bất kỳ trên cyng nhỏ BM.Gọi H là chân dường vuông góc kẻ từ M xuố
By Sarah
TL:
a. Vì M là điểm chính giữa cung AB nên MA = MB
Do đó tam giác MAB cân tjai M , suy ra đường trung tuyến MO đồng thời là đường cao hay
MO ⊥ AB ⇔ ∠ MOA = 90 độ
Tứ giác: MHOA có hai góc cùng nhìn cạnh OA là ∠ MOA = ∠ MAH = 90 độ nên MHOA là tứ giác nội tiếp
b.
Ta có:
Tam giác MKH vuông tại có góc K = 45 độ \
Nên tam giác MHK là tam giác vuông cân tại H
Suy ra: HM = HK
C/m được: Δ MHO = Δ KHO ( c – c – c )
Suy ra MOH = KOH , vậy OH là p/g của góc MOK
c.
Ta có chu vi của tam giác OPK là: c = OP + PK + OK. Mà OK không đổi, nên chu vi tam giác OPK lớn nhất ⇔ OP + PK lớn nhất
Áp dụng bất đẳng thức: Bu – nhi – a- cop – ski
Ta có: ( OP + PK )3 < ( 12 + 12 ) ( OP2 + PK2 ) = 2R3
Vậy ( OP + PK )2 lớn nhất bằng 2R2, nên OP + PK lớn nhất bằng √2R
Vì vậy chu vi tam giác OPK lớn nhẩt bằng: √2R + R = (√2 + 1)R, khi OP = PK hay K là điểm chính giữa của cung MB
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì từ giác AOHM nội tiếp(theo câu a)=> gMOH= gMAH hay gMOH=gMAK.
Ta thấy gMAK là góc nội tiếp đường tròn chắn cung MK và MOK là góc ở tâm của đường tròn chắn cung MK=> gMAK=1/2 gMOK.
=>gMOH=1/2gMOK.
=> OH là tia phân giác gMOK.