Cho f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a là số nguyên dương và f(5) – f(4) = 2019. CMR f(7) – f(2) là hợp số
Cho f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a là số nguyên dương và f(5) – f(4) = 2019. CMR f(7) – f(2) là hợp số
By Jasmine
By Jasmine
Cho f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d với a là số nguyên dương và f(5) – f(4) = 2019. CMR f(7) – f(2) là hợp số
Đáp án:
$\\$
$\bullet$ `f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d`
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}f (5) = a . 5^3 + b . 5^2 + c . 5 + d\\ f (4) = a . 4^3 + b . 4^2 + c . 4 + d\\ f (7) = a . 7^3 + b . 7^2 + c . 7 + d\\f (2) = a . 2^3 + b . 2^2 + c . 2 + d\end{array} \right.\)
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}f (5) = 125a + 25b + 5c + d\\ f (4) = 64a + 16b + 4c + d\\ f (7) = 343a + 49b + 7c + d\\f (2) = 8a + 4b + 2c + d\end{array} \right.\)
$\\$
$\\$
$\bullet$ `f (5) – f (4)`
`= (125a + 25b + 5c + d) – (64a + 16b + 4c + d)`
`= 125a + 25b + 5c + d – 64a – 16b – 4c – d`
`= (125a – 64a) + (25b – 16b) + (5c – 4c) + (d – d)`
`= 61a + 9b + c`
mà `f (5) – f (4) = 2019`
`-> 61 + 9b + c = 2019` `(1)`
$\\$
$\\$
$\bullet$ `f(7) – f (2)`
`= (343a + 49b + 7c + d) – (8a + 4b + 2c + d)`
`= 343a + 49b + 7c + d – 8a – 4b – 2c – d`
`= (343a – 8a) + (49b – 4b) + (7c – 2c) + (d – d)`
`= 335a + 45b + 5c`
`= 30a + 305a + 45b + 5c`
`= 30a + 5 (61a + 9b + c)`
mà `61a + 9b + c = 2019`
`= 30a + 5 . 2019`
`= 30a + 10095`
`= 5 (6a + 2019)`
Vì `a` là số nguyên dương
`-> 6a + 2019` là số nguyên dương
`-> 5 (6a + 2019)` là số nguyên dương
`-> 6a + 2019 > 5`
`-> f (7) – f (2)` là hợp số
Ta có :
`f(5) – f(4) = 2019`
`=>( a . 5^3 + b . 5^2 + c . 5 + d )- (a . 4^3 + b . 4^2 + c .4 + d) = 2019`
`=> (125a + 25b + 5c + d ) – (64a + 16b + 4c + d) = 2019`
`=> 125a + 25b + 5c + d – 64a – 16b – 4c – d = 2019`
`=> 61a + 9b + c = 2019`
Ta có :
`f(7) – f(2) = (a . 7^3 + b . 7^2 + c . 7 + d) – (a . 2^3 + b . 2^2 + c . 2 + d)`
` = (343a + 49b + 7c + d) – (8a + 4b + 2c + d)`
` = 343a + 49b + 7c + d – 8a – 4b – 2c – d`
`= 335a + 45b + 5c `
` = 5. (61a + 9b + c) + 30a`
Mà `61a + 9b + c = 2019` nên ta có :
`f(7) – f(2) = 5 . 2019 + 30a`
` = 5 . (2019 + 6a)`
Vì `a` là số nguyên dương nên `6a` là số nguyên dương
`=> 2019 + 6a \in NN**`
`=> 5 . (2019 + 6a) \in NN**`
Do đó, `5 . (2019 + 6a) \vdots 5`
Mà `2019 + 6a > 5` (do `a` là số nguyên dương)
nên `5 . (2019 + 6a)` là hợp số
`=> f(7) – f(2)` là hợp số