Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) lần lượt lại các điểm A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E ≠ (O), F ≠ (O’)) . Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và DC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
b) MN ⊥ AD
c) ME.MA = MF.MD.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) lần lượt lại các điểm A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đư
By Amara
Mk trình bày trong hình
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có: ∠AEB = ∠CFD = 90o
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) nên
OE ⊥ EF
OF’ ⊥ EF
=> OE // OF’
=> ∠EOB = ∠FO’D (đồng vị)
=> ∠EAO = ∠FCO’
Do đó MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN.
Hay ∠FNB = 90o
Tứ giác MENF có ∠E = ∠N = ∠F = 90o nên là hình chữ nhật.
b) Gọi I là giao điểm của MN và EF, H là giao điểm của MN và AD. Vì tứ giác MENF là hình chữ nhật nên ∠IFN = ∠INF .
Mặt khác trong đường tròn (O’): ∠FDO = ∠IFN = 1/2Sđ FC.
Do đó: ∠FDC = ∠HNC
Suy ra: ΔFDC ∼ ΔHNC (g.g) => ∠NHC = ∠DFC = 90o hay MN ⊥ AD
c) Ta có: ∠MFE = ∠FEN (do MENF là hình chữ nhật).
Trong đường tròn (O): ∠FEN = ∠EAB = 1/2Sđ EB
Do đó:∠MFE = ∠EAB .
Suy ra: ΔMEF ∼ ΔMDA (g.g)
=> ME/MD = MF/MA => ME.MA = MF.MD