Cho hai số dương x,y thảo mãn x+y<=1. Tìm GTNN của P=(1/x + 1/y). √1+x ²y ²

Question

Cho hai số dương x,y thảo mãn x+y<=1. Tìm GTNN của P=(1/x + 1/y). √1+x ²y ²

in progress 0
Anna 7 ngày 2021-09-12T06:01:51+00:00 2 Answers 1 views 0

Answers ( )

    0
    2021-09-12T06:03:02+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    $ 0 < 4xy ≤ (x + y)² ≤ 1 ⇒ 1 – 4xy ≥ 0 (1); 4 – xy > 0 (2)$ 

    Ta có $ (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})² ≥ 4(\frac{1}{x}.\frac{1}{y})$ Dấu = xảy ra khi $x = y$

    $ P = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\sqrt[]{1 + x²y²} $

    $ ⇔ P² = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})²(1 + x²y²) ≥ 4(\frac{1}{x}.\frac{1}{y})(1 + x²y²) $ 

    $ = \frac{4 + 4x²y²}{xy} = 17 + \frac{4 – 17xy + 4x²y²}{xy} = 17 + \frac{(1 – 4xy)(4 – xy)}{xy} ≥ 17$ (suy ra từ $(1);(2)$)

    $ ⇒ P ≥ \sqrt[]{17}$ khi $ 1 – 4xy = 0 ⇔ xy = \frac{1}{4} ⇔ x = y = \frac{1}{2}$

    0
    2021-09-12T06:03:24+00:00

    Đáp án: $P\ge\sqrt{17}$

    Giải thích các bước giải:

    Ta có:

    $P=(\dfrac1x+\dfrac1y)\sqrt{1+x^2y^2}$

    $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac1x\cdot\dfrac1y}\cdot \sqrt{1+x^2y^2}$

    $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac1{xy}}\cdot \sqrt{1+x^2y^2}$

    $\to P\ge \dfrac2{xy}\cdot \sqrt{1+x^2y^2}$

    $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac1{xy}+xy}$

    $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac{15}{16xy}+\dfrac1{16xy}+xy}$

    $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac{15}{4(x+y)^2}+2\sqrt{\dfrac1{16xy}\cdot xy}}$

    $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac{15}{4\cdot 1^2}+\dfrac12}$

    $\to P\ge\sqrt{17}$

    Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac12$

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )