Cho hai số dương x,y thảo mãn x+y<=1. Tìm GTNN của P=(1/x + 1/y). √1+x ²y ²

0 bình luận về “Cho hai số dương x,y thảo mãn x+y<=1. Tìm GTNN của P=(1/x + 1/y). √1+x ²y ²”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   $ 0 < 4xy ≤ (x + y)² ≤ 1 ⇒ 1 – 4xy ≥ 0 (1); 4 – xy > 0 (2)$ 

   Ta có $ (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})² ≥ 4(\frac{1}{x}.\frac{1}{y})$ Dấu = xảy ra khi $x = y$

   $ P = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\sqrt[]{1 + x²y²} $

   $ ⇔ P² = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})²(1 + x²y²) ≥ 4(\frac{1}{x}.\frac{1}{y})(1 + x²y²) $ 

   $ = \frac{4 + 4x²y²}{xy} = 17 + \frac{4 – 17xy + 4x²y²}{xy} = 17 + \frac{(1 – 4xy)(4 – xy)}{xy} ≥ 17$ (suy ra từ $(1);(2)$)

   $ ⇒ P ≥ \sqrt[]{17}$ khi $ 1 – 4xy = 0 ⇔ xy = \frac{1}{4} ⇔ x = y = \frac{1}{2}$

   Trả lời

2. Đáp án: $P\ge\sqrt{17}$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $P=(\dfrac1x+\dfrac1y)\sqrt{1+x^2y^2}$

   $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac1x\cdot\dfrac1y}\cdot \sqrt{1+x^2y^2}$

   $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac1{xy}}\cdot \sqrt{1+x^2y^2}$

   $\to P\ge \dfrac2{xy}\cdot \sqrt{1+x^2y^2}$

   $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac1{xy}+xy}$

   $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac{15}{16xy}+\dfrac1{16xy}+xy}$

   $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac{15}{4(x+y)^2}+2\sqrt{\dfrac1{16xy}\cdot xy}}$

   $\to P\ge 2\sqrt{\dfrac{15}{4\cdot 1^2}+\dfrac12}$

   $\to P\ge\sqrt{17}$

   Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac12$

   Trả lời