Cho hai số thực x,y thỏa mãn $\left \{ {{x^{3}=y^{3}+9} \atop {x-x^{2}=2y^{2}+4y}} \right.$ .Hãy tính giá trị biểu thức:
$P=\frac{5}{2} (x-1)^{2014}-\frac{1}{2}(y+2)^{2015}+2016$
Cho hai số thực x,y thỏa mãn $\left \{ {{x^{3}=y^{3}+9} \atop {x-x^{2}=2y^{2}+4y}} \right.$ .Hãy tính giá trị biểu thức: $P=\
By Melanie
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x^3} = {y^3} + 9\\ x – {x^2} = 2{y^2} + 4y \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^3} – 1 = {y^3} + 8\\ 3x – 3{x^2} = 6{y^2} + 12y \end{array} \right. \Rightarrow {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 = {y^3} + 6{y^2} + 12y + 8 \Leftrightarrow {(x – 1)^3} = {(y + 2)^3} \Leftrightarrow (x – y – 3)({x^2} + xy + {y^2} + 3y + 3) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + 3\\ {x^2} + xy + {y^2} + 3y + 3 = 0 \end{array} \right.\\ \\ \end{array}$
Thay $x=y+3$ vào phương trình ban đầu được:
$\left[ \begin{array}{l} y = – 1\\ y = – 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 1 \end{array} \right.$
Nếu $x^2+xy+y^2+3y+3=0\Rightarrow (x+\dfrac{y}{2})^2+3(\dfrac{y}{2}+1)^2=0\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x+\frac{y}{2}=0\\\frac{y}{2}+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y=-2\\x=1\end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(2;-1), (1;-2)$
Thay $(2;-1)$ vào P được $P=\frac{5}{2} (2-1)^{2014}-\frac{1}{2}(-1+2)^{2015}+2016=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}+2016=2018$
Thay $(1;-2)$ vào P được $P=\frac{5}{2} (1-1)^{2014}-\frac{1}{2}(-2+2)^{2015}+2016=2016$