cho hàm số f(x) có f(pi/2)=0 và f'(x)=sinx.sin^2(2x). Khi đó tích phân từ 0 đến pi/2 của f(x)dx bằng

0 bình luận về “cho hàm số f(x) có f(pi/2)=0 và f'(x)=sinx.sin^2(2x). Khi đó tích phân từ 0 đến pi/2 của f(x)dx bằng”

1. Đáp án:

   $\displaystyle\int\limits_0^{\pi /2} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{ – 104}}{{225}}$

   Lời giải:

   $\begin{array}{l}
   f’\left( x \right) = \sin x.{\left( {\sin 2x} \right)^2}\\
    = \sin x.{\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2}\\
    = 4.{\sin ^3}x.{\cos ^2}x\\
    = 4.{\cos ^2}x.{\sin ^2}x.\sin x\\
    = 4.\cos^2x.\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right).\sin x\\
    = \left( {4.{{\cos }^4}x – 4{{\cos }^2}x} \right).\left( { – \sin x} \right)\\
    \Rightarrow f\left( x \right) = \displaystyle\int {\left( {4{{\cos }^4}x – 4{{\cos }^2}x} \right)\left( { – \sin x} \right)dx} \\
    = \displaystyle\int {\left( {4{{\cos }^4}x – 4{{\cos }^2}x} \right)d\cos x} \\
    = \dfrac{4}{5}{\cos ^5}x – \dfrac{4}{3}{\cos ^3}x + C\\
   Do:f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0\\
    \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{4}{5}{\cos ^5}x – \dfrac{4}{3}{\cos ^3}x\\
    \Rightarrow \displaystyle\int\limits_0^{\pi /2} {f\left( x \right)dx} \\
    = \displaystyle\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {\dfrac{4}{5}{{\cos }^5}x – \dfrac{4}{3}{{\cos }^3}x} \right)dx} \\
    = \dfrac{4}{5}\displaystyle\int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^4}x.\cos xdx}  – \dfrac{4}{3}\displaystyle\int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^2}x.\cos xdx} \\
    = \dfrac{4}{5}.\displaystyle\int\limits_0^{\pi /2} {{{\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)}^2}d\left( {\sin x} \right)}  – \dfrac{4}{3}.\displaystyle\int\limits_0^{\pi /2} {1 – {{\sin }^2}xd\left( {\sin x} \right)} \\
    = \dfrac{4}{5}.\left( {\sin x – \dfrac{2}{3}{{\sin }^3}x + \dfrac{1}{5}{{\sin }^5}x} \right)\Bigg\vert_0^{\pi /2} – \dfrac{4}{3}.\left( {\sin x – \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}} \right)\Bigg\vert_0^{\pi /2}\\
    = \dfrac{4}{5}.\dfrac{8}{{15}} – \dfrac{4}{3}.\dfrac{2}{3}\\
    = \dfrac{{ – 104}}{{225}}
   \end{array}$

   Trả lời