Cho hệ phương trình : x+ay=1 và -ax+y=a . Chứng minh rằng hệ pt luôn luôn có nghiệm duy nhất vs mọi a . Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm

0 bình luận về “Cho hệ phương trình : x+ay=1 và -ax+y=a . Chứng minh rằng hệ pt luôn luôn có nghiệm duy nhất vs mọi a . Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm”

1. Đáp án:

   \(a \ne 0;\,\,a \ne 1\)

   Giải thích các bước giải:

   \(\eqalign{
   & \left\{ \matrix{
   x + ay = 1 \hfill \cr
   – ax + y = a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
   x = 1 – ay \hfill \cr
   – a\left( {1 – ay} \right) + y = a \hfill \cr} \right. \cr
   & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
   x = 1 – ay \hfill \cr
   – a + {a^2}y + y = a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
   x = 1 – ay \hfill \cr
   y\left( {{a^2} + 1} \right) = 2a \hfill \cr} \right. \cr
   & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
   x = 1 – ay \hfill \cr
   y = {{2a} \over {{a^2} + 1}}\,\,\left( {Do\,{a^2} + 1 > 0\,\,\forall a} \right) \hfill \cr} \right. \cr
   & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
   x = 1 – {{2{a^2}} \over {{a^2} + 1}} \hfill \cr
   y = {{2a} \over {{a^2} + 1}} \hfill \cr} \right. \cr
   & Theo\,\,bai\,\,ra\,\,ta\,\,co: \cr
   & \left\{ \matrix{
   x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 - {{2{a^2}} \over {{a^2} + 1}} < 1 \hfill \cr {{2a} \over {{a^2} + 1}} < 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{2{a^2}} \over {{a^2} + 1}} > 0 \hfill \cr
   2a < {a^2} + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} > 0 \hfill \cr
   {a^2} – 2a + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \cr
   & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
   a \ne 0 \hfill \cr
   {\left( {a – 1} \right)^2} > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
   a \ne 0 \hfill \cr
   a \ne 1 \hfill \cr} \right. \cr
   & Vay\,\,a \ne 0;\,\,a \ne 1 \cr} \)

   Trả lời

2. \[\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   x + ay = 1\\
   – ax + y = a
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x + ay = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
   y = a + ax\,\,\,\,\left( 2 \right)
   \end{array} \right.\\
   \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x + a\left( {a + ax} \right) = 1\\
   \Leftrightarrow x + {a^2} + {a^2}x = 1\\
   \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)x = 1 – {a^2}\,\,\,\left( {\,*} \right)\\
   Vi\,\,{a^2} + 1 > 0\,\,\,\,\,\forall a.\\
   \Rightarrow \left( * \right)\,\,\,luon\,\,\,co\,\,\,nghiem\,\,\,\,duy\,\,\,nhat\,\,\,x = \frac{{1 – {a^2}}}{{{a^2} + 1}}\,\,\,\,voi\,\,\,moi\,\,a.\\
   \Rightarrow Hpt\,\,luon\,\,\,co\,\,\,nghiem\,\,\,duy\,\,\,nhat\,\,\,voi\,\,\,moi\,\,a.\\
   \Rightarrow y = a + ax = a + a.\frac{{1 – {a^2}}}{{{a^2} + 1}} = \frac{{a\left( {{a^2} + 1} \right) + a – {a^3}}}{{{a^2} + 1}} = \frac{{2a}}{{{a^2} + 1}}.\\
   \Rightarrow Hpt\,\,\,co\,\,\,nghiem\,\,duy\,\,\,nhat\,\,\,\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{1 – {a^2}}}{{{a^2} + 1}};\,\,\frac{{2a}}{{{a^2} + 1}}} \right).\\
   Theo\,\,de\,\,bai\,\,co:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
   x < 1\\ y < 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{1 - {a^2}}}{{{a^2} + 1}} < 1\\ \frac{{2a}}{{{a^2} + 1}} < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - {a^2} < {a^2} + 1\\ 2a < {a^2} + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{a^2} > 0\\
   {a^2} – 2a + 1 > 0
   \end{array} \right.\\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   a \ne 0\\
   {\left( {a – 1} \right)^2} > 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   a \ne 0\\
   a \ne 1
   \end{array} \right..\\
   Vay\,\,a \ne 0,\,\,a \ne 1\,\,\,thoa\,\,\,man\,\,\,bai\,\,toan.
   \end{array}\]

   Trả lời