cho hình thoi `ABCD `có cạnh` a` và góc` A` bằng `150` độ lấy điểm `E` sao cho` E` thuộc `BC` sao cho góc `BAE ` bằng` 30 `độ. tại `AE `cắt` CD` tại` F`
`.CMR : 1/(AF)^2 +1/(AE)^2 =4/(a)^2`
cho hình thoi `ABCD `có cạnh` a` và góc` A` bằng `150` độ lấy điểm `E` sao cho` E` thuộc `BC` sao cho góc `BAE ` bằng` 30 `độ. tại `AE `cắt` CD` tại`
By Ruby
Do ABCD là hình thoi nên:
$\widehat{D_{1}}$ = $\widehat{B_{1}}$ = $180^{o}$ – $\widehat{BAD}$ = $30^{o}$ (2 góc trong cùng phía)
$\widehat{F_{1}}$ = $\widehat{BAE}$ = $30^{o}$ (so le trong với AB//CD)
Do đó: $\widehat{D_{1}}$ = $\widehat{F_{1}}$ ⇒ Δ ADF cân tại A, suy ra: AF = AD = a (1)
Kẻ AH vuông góc với BC
Ta có: $\frac{AH}{AB}$ = sin $\widehat{ABH}$ = sin $\widehat{B_{1}}$ = sin $30^{o}$ = $\frac{1}{2}$
⇒ AH = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{a}{2}$
$\widehat{AEH}$ = $\widehat{EBH}$ + $\widehat{B_{1}}$ = $30^{o}$ + $30^{o}$ = $60^{o}$
⇒ $\frac{AH}{AE}$ = $\widehat{AEH}$ = sin $60^{o}$ = $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$
⇒ AE = $\frac{2AH}{\sqrt[]{3}}$ = $\frac{a}{\sqrt[]{3}}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $\frac{1}{AE^{2}}$ = $\frac{1}{AF^{2}}$ = $\frac{4}{a^{2} }$ (đpcm)