Định lý cos khái quát định lý Pytago (định lý Pytago là trường hợp riêng trong tam giác vuông): nếu γ là góc vuông thì cos γ = 0, và định lý cos trở thành định lý Pytago:
Định lý cos được dùng để tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại và góc giữa hai cạnh đó, hoặc tính các góc khi chỉ biết chiều dài ba cạnh của một giác.
Định lý cos được biểu diễn tương tự cho hai cạnh còn lại:
Công thức thứ ba có được nhờ giải phương trình bậc hai a2 − 2ab cos γ + b2 − c2 = 0 với ẩn a. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu c ≥ b hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu c < b sin γ.
Lời giải: rong lượng giác, định lý cotang biểu diễn mối quan hệ giữa các cạnh, các góc của một tam giác và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó.
Đáp án:
Buớc tưới chuyển hướngBước tới tìm kiếm
Bài này viết về Định lý cos trong hình học Euclid. Đối với bài về định lý cos trong quang học, xem định lý cos Lambert.
Hình 1 – Một tam giác với các góc α (hoặc A), β (hoặc B), γ (hoặc C) lần lượt đối diện với các cạnh a, b, c.
Lượng giác
Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.svg
Outline History Usage
Hàm (Hàm ngược) Generalized trigonometry
Reference
Đẳng thức lượng giác Exact constants Tables Đường tròn đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang
Định lý Pythagoras
Vi tích phân
Trigonometric substitution Tích phân (Hàm nghịch đảo) Đạo hàm
xts
Trong lượng giác, định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác phẳng với cosin của góc tương ứng:
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,} {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}
hoặc
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,} {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,}
Công thức trên cũng có thể được viết dưới dạng:
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,} {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,}
Định lý cos khái quát định lý Pytago (định lý Pytago là trường hợp riêng trong tam giác vuông): nếu γ là góc vuông thì cos γ = 0, và định lý cos trở thành định lý Pytago:
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,} {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}
Định lý cos được dùng để tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại và góc giữa hai cạnh đó, hoặc tính các góc khi chỉ biết chiều dài ba cạnh của một giác.
Định lý cos được biểu diễn tương tự cho hai cạnh còn lại:
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,} {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,}
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,} {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,}
Hình 2 – Tam giác tù ABC với đường cao BH
Mục lục
1 Ứng dụng
2 Chứng minh
2.1 Sử dụng công thức tính khoảng cách
2.2 Sử dụng công thức lượng giác
2.3 Sử dụng định lý Pytago
2.4 Sử dụng định lý Ptolemy
3 Trong tam giác cân
4 Sự tương đồng trong hình tứ diện
5 Định lý cos trong hình học phi Euclid
6 Xem thêm
7 Tham khảo
Ứng dụng
Hình 3 – Ứng dụng của định lý cos: tìm cạnh chưa biết và góc chưa biết.
Định lý cos được dùng trong phép đạc tam giác để giải một tam giác hoặc một đường tròn. Ví dụ trong Hình 3, định lý cos được dùng để tìm:
cạnh thứ ba của một tam giác nếu đã biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng:
{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;} {\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;}
ba góc nếu biết ba cạnh của tam giác
{\displaystyle \,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;} {\displaystyle \,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;}
cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong hai cạnh đó:
{\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.} {\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}
Công thức thứ ba có được nhờ giải phương trình bậc hai a2 − 2ab cos γ + b2 − c2 = 0 với ẩn a. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu c ≥ b hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu c < b sin γ.
Lời giải: rong lượng giác, định lý cotang biểu diễn mối quan hệ giữa các cạnh, các góc của một tam giác và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó.
Định lý cotang phát biểu rằng, nếu biết:
{\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}} {\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}
là bán kính đường tròn nội tiếp và
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
là nửa chu vi của tam giác thì:[1]
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}} {\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}
{\displaystyle \cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}} {\displaystyle \cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}}
{\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}} {\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}}
Điều đó dẫn tới
{\displaystyle {\frac {\cot(\alpha /2)}{s-a}}={\frac {\cot(\beta /2)}{s-b}}={\frac {\cot(\gamma /2)}{s-c}}.} {\displaystyle {\frac {\cot(\alpha /2)}{s-a}}={\frac {\cot(\beta /2)}{s-b}}={\frac {\cot(\gamma /2)}{s-c}}.}
Đáp án:
Lời giải: Định lí hàm cos : BC2 = AC2 + AB2 – 2AB.AC.cosA
b2 = a2 + c2 – 2accosB.
c2 = b2 + a2 – 2abcosC
a2 = b2 + c2 – 2bccosA. Định lí hàm sin :
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R