Cho P = a1 + a2 + a3 +…+ a2020
Với a1, a2, a3,….., a2020 la số nguyên dương và P chia hết cho 30.
CMR: Q = a1^5 + a2^5 + a3^5 +….+ a2020^5 chía hết cho 30.
Giúp mình với QAQ
Cho P = a1 + a2 + a3 +…+ a2020 Với a1, a2, a3,….., a2020 la số nguyên dương và P chia hết cho 30. CMR: Q = a1^5 + a2^5 + a3^5 +….+ a2020^5 chía
By Amara
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`P=a_1+a_2+a_3+…+a_2020`
`Q=a_1^5+a_2^5+a_3^5+…+a_2020^5`
`=>Q-P=(a_1^5-a_1)+(a_2^5-a_2)+(a_3^5-a_3)+…+(a_2020^5-a_20202)`
Ta có : `a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2+1)(a-1)(a+1)=a(a^2-4+5)(a-1)(a+1)=a(a^2-4)(a+1)(a-1)+5a(a+1)(a-1)=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)`
Vì `a(a-1)(a+1)` là 3 số nguyên liên tiếp
`=>a(a-1)(a+1)\vdots6(1)`
mà `a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)` là 5 số nguyên liên tiếp
`=>a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots5(2)`
`(1)(2)=>a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots(5.6)=30`
Từ `(1)=>5a(a-1)(a+1)\vdots30`
`=>a^5-a\vdots30`
`=>Q-P=(a_1^5-a_1)+(a_2^5-a_2)+(a_3^5-a_3)+…+(a_2020^5-a_20202)\vdots30`
mà `P\vdots30` (theo đề bài)
`=>Q\vdots30`