Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Biết 2p + 1 cũng là số nguyên tố . Chứng minh rằng: p+1 chia hết cho 6

0 bình luận về “Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Biết 2p + 1 cũng là số nguyên tố . Chứng minh rằng: p+1 chia hết cho 6”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ sẽ có 2 trường hợp:

   $\bullet \,\,\,T{{H}_{1}}$: $p$ chia $3$ dư $1$

   $\to $ $p$ có dạng: $p=3k+1\left( k\in \mathbb{N} \right)$

    

   $\bullet \,\,T{{H}_{2}}$: $p$ chia $3$ dư $2$

   $\to $ $p$ có dạng: $p=3k+2\left( k\in \mathbb{N} \right)$

    

   $\bullet \,\,$Ta có $2p+1$ cũng là số nguyên tố:

   Xét $T{{H}_{1}}:p=3k+1$

   $2p+1=2\left( 3k+1 \right)+1=6k+3\,\,\,\vdots \,\,\,3$

   Vì $2p+1\,\,\,\vdots \,\,\,3$ nên $2p+1$ là  hợp số

   $\to $ Loại $T{{H}_{1}}$

    

   $\bullet \,\,$Vậy ta nhận $T{{H}_{2}}:p=3k+2$

    

   $\bullet \,\,$Ta có $p+1=3k+2+1=3k+3\,\,\,\vdots \,\,\,3$

   $\to p+1\,\,\,\vdots \,\,\,3$

    

   $\bullet \,\,$Vì $p$ là số nguyên tố  lớn hơn 3 nên $p$ là số lẻ

   $\to p+1$ phải là số chẵn

   $\to p+1\,\,\vdots \,\,2$

    

   $p+1\,\,\,\vdots \,\,\,3$

   $p+1\,\,\,\vdots \,\,\,2$

   $\to p+1\,\,\,\vdots \,\,\,\left( 2.3 \right)$

   $\to p+1\,\,\,\vdots \,\,\,6$

    

   Trả lời