Cho phương trình: $x^{2}$ +2(m-1)x + $m^{2}$ – 4=0 (x là ẩn, m là tham số)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K= $x1^{2}$ + $x2^{2}$ – x1x2
Cho phương trình: $x^{2}$ +2(m-1)x + $m^{2}$ – 4=0 (x là ẩn, m là tham số) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K= $x1^{2}$ + $x2^{2}$ – x1x2
By Piper
Đáp án:
$\dfrac{9}{4}$
Giải thích các bước giải:
$x^2+2(m-1)x+m^2-4=0$
$\Delta ‘=(m-1)^2-(m^2-4)=-2m+5$
Để pt có nghiệm thì :
$-2m+5\geq 0$
$m\leq \dfrac{5}{2}$
Theo hệ thức vi-ét:
$\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=m^2-4\end{cases}$
Theo đề ra :
$K=x_1^2+x_2^2-x_1.x_2$
$K=(x_1+x_2)^2-3x_1.x_2$
$K=(2m-2)^2-3(m^2-4)$
$K=m^2-8m+16$
$K=(m-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{9}{4}\geq \dfrac{9}{4}$
Vạy $Min_K=\dfrac{9}{4}$
Đáp án: `K_{min}=\frac{9}{4} ⇔ m=\frac{5}{2}`
Giải thích các bước giải:
Ta có: $Δ’=(m-1)^2-1.(m^2-4)=-2m+5$
Để phương trình có nghiệm
`⇔Δ’≥0⇔-2m+5≥0⇔m≤\frac{5}{2}`
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được:
$\large \left \{ {{x_1x_2=m^2-4} \atop {x_1+x_2=2-2m}} \right.$
Ta có: $K=x_1^2+x_2^2-x_1x_2$
$=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$
$=(2-2m)^2-3(m^2-4)$
$=m^2-8m+16$
`=(m^2-5m+\frac{25}{4})-(3m-\frac{15}{2})+\frac{9}{4}`
`=(m-\frac{5}{2})^2+3(\frac{5}{2}-m)+\frac{9}{4}`
Do `(m-\frac{5}{2})^2≥0`
`m≤\frac{5}{2} ⇒ \frac{5}{2}-m≥0 ⇒ 3(\frac{5}{2}-m)≥0`
`⇒K=(m-\frac{5}{2})^2+3(\frac{5}{2}-m)+\frac{9}{4}≥\frac{9}{4}`
Dấu bằng xảy ra `⇔m=\frac{5}{2}` (thỏa mãn)