Cho phương trình $x^{2}$ – 4x + $\frac{c}{d}$ =0 (với phân số c/d tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A,B là hai điểm biểu diễn của hai n

0 bình luận về “Cho phương trình $x^{2}$ – 4x + $\frac{c}{d}$ =0 (với phân số c/d tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A,B là hai điểm biểu diễn của hai n”

1. Đáp án:

   $D.\ P = 22$ 

   Giải thích các bước giải:

   $\quad x^2 – 4x + \dfrac cd =0$

   Gọi $z_1,\ z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình

   $\Rightarrow z_1,\ z_2$ là hai số phức liên hợp

   Đặt $z_1 = a + bi\quad (a,\ b\in\Bbb R)$

   $\Rightarrow z_2 = \overline{z_1} = a – bi$

   $\Rightarrow A(a;b),\ B(a;-b)$ lần lượt là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức $z_1, \ z_2$ trên mặt phẳng phức $Oxy$

   Áp dụng định lý Viète ta được:

   $\begin{cases}z_1 + z_2 = 4\\z_1z_2 = \dfrac cd\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}a + bi + a – bi = 4\\(a + bi)(a – bi) = \dfrac cd\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}2a = 4\\a^2 – b^2i^2 = \dfrac cd\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}a = 2\\a^2  +b^2 = \dfrac cd\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}a = 2\\b^2 + 4 = \dfrac cd\end{cases}$

   $\Rightarrow A(2;b),\ B(2;-b)$

   Ta lại có: $\triangle OAB$ đều

   $\Leftrightarrow OA = AB$

   $\Leftrightarrow \sqrt{4 + b^2} = \sqrt{(-2b)^2}$

   $\Leftrightarrow 4 + b^2 = 4b^2$

   $\Leftrightarrow b^2 = \dfrac43$

   Do đó:

   $\quad b^2 + 4 = \dfrac cd \Leftrightarrow \dfrac43 + 4 = \dfrac cd$

   $\Leftrightarrow \dfrac cd = \dfrac{16}{3}$

   mà $\dfrac cd$ là phân số tối giản

   nên $c = 16;\ d = 3$

   Ta được:

   $P = c + 2d = 16 + 2.3 = 22$

   Trả lời