Cho phương trình: (m – 4)x² – 2(m – 2)x + m – 1 = 0
Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m
Cho phương trình: (m – 4)x² – 2(m – 2)x + m – 1 = 0 Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m
By Liliana
By Liliana
Cho phương trình: (m – 4)x² – 2(m – 2)x + m – 1 = 0
Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m
Đáp án:
\(4{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 2 = 0.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\left( {m – 4} \right){x^2} – 2\left( {m – 2} \right)x + m – 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\\
\left( * \right)\,\,\,co\,\,\,2\,\,\,nghiem\,\,phan\,\,biet\,\,\,{x_1},\,\,{x_2}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ‘ > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m – 4 \ne 0\\
{\left( {m – 2} \right)^2} – \left( {m – 4} \right)\left( {m – 1} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} – 4m + 4 – {m^2} + 5m – 4 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0.\\
Ap\,\,dung\,\,dinh\,\,ly\,\,Vi – et\,\,ta\,\,co:\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m – 2} \right)}}{{m – 4}}\\
{x_1}{x_2} = \frac{{m – 1}}{{m – 4}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m – 4} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2m – 4\\
m{x_1}{x_2} – 4{x_1}{x_2} = m – 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2m – 4\\
m\left( {{x_1}{x_2} – 1} \right) = 4{x_1}{x_2} – 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( {{x_1} + {x_2} – 2} \right) = 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 4\\
m = \frac{{4{x_1}{x_2} – 1}}{{{x_1}{x_2}}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{4\left( {{x_1} + {x_2} – 1} \right)}}{{{x_1} + {x_2} – 2}} = \frac{{4{x_1}{x_2} – 1}}{{{x_1}{x_2}}}\\
\Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2} – 1} \right){x_1}{x_2} = \left( {4{x_1}{x_2} – 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2} – 2} \right)\\
\Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_1}{x_2} – 4{x_1}{x_2} = 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_1}{x_2} – 8{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\\
\Leftrightarrow 4{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 2 = 0.
\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m – 2} \right)}}{{m – 4}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m – 1}}{{m – 4}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m – 4} \right) + 4}}{{m – 4}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m – 4 + 3}}{{m – 4}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2 + \frac{4}{{m – 4}}\\
{x_1}.{x_2} = 1 + \frac{3}{{m – 4}}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 4{x_1}{x_2} = 3\left( {2 + \frac{4}{{m – 4}}} \right) – 4\left( {1 + \frac{3}{{m – 4}}} \right) = 6 – 4 = 2
\end{array}\]