Cho pt x^2+mx+2m-4=0
gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt. Tìm các giá trị nguyên dương của m để biểu thức A=x1.x2/x1+x2 có giá trị nguyên
làm ơn giúp mình với
Cho pt x^2+mx+2m-4=0 gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt. Tìm các giá trị nguyên dương của m để biểu thức A=x1.x2/x1+x2 có giá trị nguyên làm ơn giúp mình
By Katherine
Đáp án + Giải thích các bước giải:
`x^2+mx+2m-4=0`
`Delta=m^2-4.1.(2m-4)`
`=m^2-8m+16`
`=(m-4)^2\geq0∀m∈RR`
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2m-4\end{cases}$
Lại có: `A=frac{x_1x_2}{x_1+x_2}`
`=>A=frac{2m-4}{-m}`
`A=-2+frac{4}{m}`
Để biểu thức `A∈ZZ` thì `(4)/(m)∈ZZ`
`=>4⋮m`
`=>m∈Ư(4)`
mà `Ư(4)∈{±1;±2;±4}` và `m∈ZZ^+` ( giả thiết )
`=>m∈{1;2;4}`
Vậy `m={1;2;4}` thì `A∈ZZ`
Đáp án:
\(m\in\{1;2;4\}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad x^2 +mx + 2m – 4 =0\qquad (*)\\
\text{Phương trình có nghiệm}\\
\Leftrightarrow \Delta_{(*)} \geqslant 0\\
\Leftrightarrow m^2 – 4(2m-4) \geqslant 0\\
\Leftrightarrow m^2 – 8m + 16 \geqslant 0\\
\Leftrightarrow (m-4)^2 \geqslant 0\quad \text{(hiển nhiên)}\\
\text{Với $x_1,\ x_2$ là hai nghiệm của $(*)$}\\
\text{Áp dụng định lý Viète ta được:}\\
\begin{cases}x_1 + x_2 = -m\\x_1x_2 = 2m-4\end{cases}\\
\text{Khi đó:}\\
\quad A = \dfrac{x_1x_2}{x_1 + x_2} = \dfrac{2m-4}{-m}\\
\Leftrightarrow A = -2 + \dfrac4m\\
\text{Do đó:}\\
\quad A \in \Bbb Z \Leftrightarrow \dfrac4m \in \Bbb Z\\
\Leftrightarrow m\in Ư(4)\\
\Leftrightarrow m=\{-4;-2;-1;1;2;4\}\\
\text{Lại có:}\\
m \in \Bbb Z^+\\
\text{Vậy}\ m\in\{1;2;4\}
\end{array}\)