Cho $sin(x+$ $\dfrac{\pi}{4})=$ $\dfrac{\sqrt[]{2}}{5}$. Tính giá trị biểu thức $B=sin^3x+cos^3x$

0 bình luận về “Cho $sin(x+$ $\dfrac{\pi}{4})=$ $\dfrac{\sqrt[]{2}}{5}$. Tính giá trị biểu thức $B=sin^3x+cos^3x$”

1. Đáp án:

   $B = \dfrac{{71}}{{125}}$

   Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   $\begin{array}{l}
   \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\\
    \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{4} + \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\\
    \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}\\
    \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \dfrac{2}{5}\\
    \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \dfrac{4}{{25}}\\
    \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = \dfrac{4}{{25}}\\
    \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \dfrac{4}{{25}}\\
    \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{ – 21}}{{50}}
   \end{array}$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   B = {\sin ^3}x + {\cos ^3}x\\
    = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} – 3\sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)\\
    = {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^3} – 3.\left( {\dfrac{{ – 21}}{{50}}} \right).\dfrac{2}{5}\\
    = \dfrac{{71}}{{125}}
   \end{array}$

   Vậy $B = \dfrac{{71}}{{125}}$

   Trả lời