Cho số nguyên tố p>3. CMR $p^{2}$ -1 chia hết cho 24

0 bình luận về “Cho số nguyên tố p>3. CMR $p^{2}$ -1 chia hết cho 24”

1. Do $p>3$ $⇒$ $p$ lẻ

   $⇒$ $p^2 – 1 = p^2 + p – p -1 = p(p+1) – (p+1) = (p-1)(p+1)$

   $⇒$ $p-1;p+1$ là hai số chẵn liên tiếp

   $⇒ p^2 – 1 \vdots 8$ khi $p>3$ ($*$)

   Lại có : $p > 3 ⇒ p$ có dạng $3k+1;3k+2$

   Nếu $p=3k+1$

   $⇒ p^2 – 1 = (3k+1)^2 – 1 = 9k^2 + 6k + 1 – 1 = 3(3k^2 + 2k) \vdots 3$ và lớn hơn $3$ ($1$)

   Nếu $p=3k+2$

   $⇒ p^2 – 1 = (3k+2)^2 – 1 = 9k^2 + 12k + 4 – 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) \vdots 3$ và lớn hơn $3$ ($2$)

   Từ ($1$);($2$) $⇒$ $p^2 – 1$ $\vdots 3$ khi $p>3$

   Kết hợp ($*$);($**$) $⇒$ $p^2 – 1 \vdots 24$ vì `(3;8)=1`

      Vậy $p^2-1 \vdots 24$ khi $p>3$ ($đpcm$).

    

   Trả lời

2. Đáp án:

   Ta có : 

   $p^2 – 1 = (p-1)(p+1)$

   Do p là SNT > 3 => p le => $p  – 1 ; p + 1$ là 2 số chẵn liên tiếp

   $=> ( p – 1)(p + 1)$ chia hết cho 8  (1)

   Do p là SNT > 3 => p sẽ có dạng là $3k + 1 ; 3k + 2$ ( k ∈ N)

   Với$ p = 3k + 1 => p^2 – 1 = ( p – 1)(p + 1) = (3k + 1 – 1)(p + 1) = 3k.(p + 1)$ chia hết cho 3 

   Với$ p = 3k + 1 => p^2 – 1 = ( p – 1)(p + 1) =  ( p – 1)(3k +2 + 1) = (p – 1)(3k + 3) = (p-1)(k+1).3$ chia hết cho 3 

   $=> ( p – 1)(p + 1) $chia hết cho 3 (2)

   Do $(3,8) = 1 $

   nên từ (1) và (2)

   $=> (p-1)(p+1)$ chia hết cho 24

   $=> p^2 – 1 $chia hết cho 24

   Giải thích các bước giải:

    

   Trả lời