Cho số nguyên tố p>3. CMR $p^{2}$ -1 chia hết cho 24

Question

Cho số nguyên tố p>3. CMR $p^{2}$ -1 chia hết cho 24

in progress 0
Julia 1 tháng 2021-08-13T14:07:10+00:00 2 Answers 0 views 0

Answers ( )

    0
    2021-08-13T14:08:10+00:00

    Do $p>3$ $⇒$ $p$ lẻ

    $⇒$ $p^2 – 1 = p^2 + p – p -1 = p(p+1) – (p+1) = (p-1)(p+1)$

    $⇒$ $p-1;p+1$ là hai số chẵn liên tiếp

    $⇒ p^2 – 1 \vdots 8$ khi $p>3$ ($*$)

    Lại có : $p > 3 ⇒ p$ có dạng $3k+1;3k+2$

    Nếu $p=3k+1$

    $⇒ p^2 – 1 = (3k+1)^2 – 1 = 9k^2 + 6k + 1 – 1 = 3(3k^2 + 2k) \vdots 3$ và lớn hơn $3$ ($1$)

    Nếu $p=3k+2$

    $⇒ p^2 – 1 = (3k+2)^2 – 1 = 9k^2 + 12k + 4 – 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) \vdots 3$ và lớn hơn $3$ ($2$)

    Từ ($1$);($2$) $⇒$ $p^2 – 1$ $\vdots 3$ khi $p>3$

    Kết hợp ($*$);($**$) $⇒$ $p^2 – 1 \vdots 24$ vì `(3;8)=1`

       Vậy $p^2-1 \vdots 24$ khi $p>3$ ($đpcm$).

     

    0
    2021-08-13T14:08:34+00:00

    Đáp án:

    Ta có : 

    $p^2 – 1 = (p-1)(p+1)$

    Do p là SNT > 3 => p le => $p  – 1 ; p + 1$ là 2 số chẵn liên tiếp

    $=> ( p – 1)(p + 1)$ chia hết cho 8  (1)

    Do p là SNT > 3 => p sẽ có dạng là $3k + 1 ; 3k + 2$ ( k ∈ N)

    Với$ p = 3k + 1 => p^2 – 1 = ( p – 1)(p + 1) = (3k + 1 – 1)(p + 1) = 3k.(p + 1)$ chia hết cho 3 

    Với$ p = 3k + 1 => p^2 – 1 = ( p – 1)(p + 1) =  ( p – 1)(3k +2 + 1) = (p – 1)(3k + 3) = (p-1)(k+1).3$ chia hết cho 3 

    $=> ( p – 1)(p + 1) $chia hết cho 3 (2)

    Do $(3,8) = 1 $

    nên từ (1) và (2)

    $=> (p-1)(p+1)$ chia hết cho 24

    $=> p^2 – 1 $chia hết cho 24

    Giải thích các bước giải:

     

Leave an answer

Browse

35:5x4+1-9:3 = ? ( )