Cho tam giác ABC cân tại C . Gọi D,E lần lượt là trung điểm của AC, BC. Các đường thẳng AE, BD cắt nhau tại M. Các đường thẳng CM, AB cắt nhau tại I.

0 bình luận về “Cho tam giác ABC cân tại C . Gọi D,E lần lượt là trung điểm của AC, BC. Các đường thẳng AE, BD cắt nhau tại M. Các đường thẳng CM, AB cắt nhau tại I.”

1. c) Xét Δ ABC có AE, BD là các đường trung tuyến 

             Có AE cắt BD tại M

   ⇒ M là trọng tâm của tam giác ABC

   ⇒ CM cũng là đường trung tuyến của Δ ABC cân tại C

   ⇒ CM đồng thời là đường cao của Δ ABC 

   ⇒ CM ⊥ AB

   mà CM cắt AB tại I

   ⇒ CI ⊥ AB
        MI ⊥ AB

   hay IM ⊥ AB ( đpcm )

   #) Xét Δ ABC cân tại C: có CM là đường trung tuyến, M là trọng tâm của Δ ABC và  CM cắt AB tại I

   ⇒ I là trung điểm của AB

   ⇒ IB = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12 ( cm )

   Ta có CI ⊥ AB ⇒ Δ CID vuông tại I

   Áp dụng định lí pytago vào Δ CIB vuông tại I có

   $BC^{2}$ = $CI^{2}$ + $IB^{2}$ 

   ⇒ CI = √81 = 9 ( cm )

   mà M là trọng tâm của tam giác ABC

   IM = $\frac{1}{3}$ . IC = $\frac{1}{3}$ . 9 = 3 ( cm )

   d)  Trên tia đối của tia IC lấy điểm H sao cho IC = IH 

     Xét Δ AIH  và Δ CIB có 

            IH = IC

       ∠IAH = ∠CIB ( đối đỉnh )

           IA = IB

   ⇒ Δ AIH  = Δ CIB ( c-g-c )
   ⇒ AH = CB ( 2 cạnh tương ứng )

     Xét Δ ACH có: CH <  AC + AH

         mà CH = ; AH =bc

   ⇒ 2 . CI  <  AC + BC     (3)
     Chứng minh tương tự ta có:
            2 . AE  <  AC + AB    (4)

            2 . BD <   AB + BC    (5)

   Từ (3), (4), (5) ⇒ 2 . ( CI + AE + BD )  <  2 . ( AB + AC + BC )

   ⇒  AB + AC + BC   >  CI + AE + BD

   ⇒ AB+2BC > CI+2AE (đpcm)

   Hình vẽ

   Trả lời

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   a) Ta có: `D` là trung điểm của `AC`

   `E` là trung điểm của `BC`

   `⇒ AE, BD` là các đường trung tuyến trong tam giác

   `⇒ AE, BD` cũng là đường cao (tính chất `Δ` cân)

   Mà `AE∩BD={M}`

   `⇒ M` vừa là trọng tâm, vừa là trực tâm của `ΔABC`

   Có `CM∩AB={I}`

   `⇒ CI \bot AB`.

   `CI` là vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

   `⇒ I` là trung điểm của `AB`

   `⇒IA=IB=\frac{1}{2}AB=12\ cm`

   Xét `ΔICB` vuông tại `I`:

   `IC^2+IB^2=CB^2` (định lý Pi-ta-go)

   `IC^2=15^2-12^2`

   `IC^2=225-144`

   `IC^2=81`

   `IC=9\ cm`

   Ta có: `MI=\frac{1}{3}CI` (do M là trọng tâm)

   `MI=\frac{1}{3}.9`

   `MI=3\ cm`

   Trả lời