Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC và AM. Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, E, F thẳng hàng b) F là tr

0 bình luận về “Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC và AM. Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, E, F thẳng hàng b) F là tr”

1. a)

   Xét tam giác ACB đỉnh C ta có : 
    + E là trung điểm AC
    + M là trung điểm BC
   => EM là đường trung bình của tam giác
   => EM=1/2 AB = AD=BD (1)( D là trung điểm của AB)
   Xét tam giác ABC đỉnh C ta có : 
   + M là trung điểm của BC
   + D là trung điểm AB
   => MD là trung bình của tam giác ABC
   => MD = 1/2 AC = AE = EC (2) ( E là trung điểm AC)
   Xét tứ giác AEMD có : 
    AD = EM (từ 1)
    DM = AE ( từ 2)
   => Tứ giác AEMD là hình bình hành
   Lại có : F là trung điểm của đường chéo AM
   => F là giao điểm của đường chéo AM và DE
   => D,E,F thẳng hàng 

      b)

   Vì tứ giác AEMD là hình bình hành ( cm ở câu a)
   Mà F lại là trung điểm của AM
   => F là trung điểm DE .

    

   Trả lời

2. Lời giải:

   a) $\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB, E$ là trung điểm của $AC$

   $\Rightarrow DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

   $DE//BC$ và $DE=\dfrac{BC}2$(1)

   $\Delta AMC$ có $F$ là trung điểm của $AM, E$ là trung điểm của $AC$

   $\Rightarrow FE$ là đường trung bình của $\Delta AMC$

   $\Rightarrow FE//MC$ và $FE=\dfrac{MC}2$ hay $FE//BC$ (2)

   Từ (1) và (2) suy ra $DE, EF$ cùng song song với $BC$

   $\Rightarrow D, E, F$ thẳng hàng.

   b) $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$

   $\Rightarrow MB=MC=\dfrac{BC}{2}$

   $\Rightarrow FE=\dfrac{MC}2=\dfrac{BC}{4}$ (3)

   Chứng mình tương tự $\Delta ABM$ có $DF$ là đường trung bình của $\Delta ABM$

   $\Rightarrow DF=\dfrac{BM}{2}=\dfrac{BC}4$ (4)

   Từ (3) và (4) suy ra $DF=FE$ và có $D, E, F$ thẳng hàng câu a

   $\Rightarrow F$ là trung điểm của $DE$.

   Trả lời