Cho tam giác MNP có góc M=90°, kẻ MI vuông góc NP (I thuộc NP). Vẽ MK là phân giác của IMP, (K thuộc IP). Kẻ KA vuông góc MP (A thuộc MP).
a) Chứng minh tam giác MKA = tam giá MKI
b) AK cắt MI tại B. Chứng minh MK vuông góc BP và IA // BP.
c) So sánh hai đoạn thẳng KP và BP
d) Các tia phân giác của NMI và MIN cắt nhau tại C; NC cắt MI ở D. Chứng minh D là trực tâm của tam giác MNK.
Cho tam giác MNP có góc M=90°, kẻ MI vuông góc NP (I thuộc NP). Vẽ MK là phân giác của IMP, (K thuộc IP). Kẻ KA vuông góc MP (A thuộc MP). a) Chứng mi
By Peyton
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
a) $\Delta MKA=\Delta MKI$
b) $MK\perp BP$ và IA // BP
c) KP<BP
d) D là trực tâm của $\Delta MNK$
Giải thích các bước giải:
a) Xét $\Delta MKA$ và $\Delta MKI$ có:
$\widehat{MIK}=\widehat{KAM}(=90^{0})$
MK chung
$\widehat{IMK}=\widehat{KMA}$(MK là phân giác của $\widehat{IMA}$)
$\Rightarrow \Delta MKA=\Delta MKI$ (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Xét $\Delta BIK$ và $\Delta AKP$ có:
$\widehat{IKP}=\widehat{AKP}$(đối đỉnh)
IK=KA ($\Delta MKA=\Delta MKI$)
$\widehat{BIK}=\widehat{KIP}(=90^{0})$
$\Rightarrow \Delta BIK=\Delta AKP$
$\Rightarrow AP=IB$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\Delta MIA$ và $\Delta BMP$ có:
$\widehat{BMP}$ chung
$\frac{MA}{MP}=\frac{MI}{MB}$
$\Rightarrow \Delta MIA\sim \Delta BMP$
$\Rightarrow \widehat{IAM}=\widehat{BPM}$
mà hai góc ở vị trí so le trong
$\Rightarrow IA//BP$ (đccm)
$\Delta KIP\sim \Delta KAP$
$\Rightarrow \frac{KI}{KA}=\frac{KB}{KP}$
mà KI=KA (câu a)$\Rightarrow KB=KP$
Ta lại có:
$\widehat{BKG}=\widehat{PKG}$
$\Rightarrow \Delta BKP$ cân tại K
mà KG là phân giác của $\widehat{BKP}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
KG\perp BP\\
MK\perp BP
\end{matrix}\right.$
c) Từ ý b: $\left\{\begin{matrix}
MK\perp BP\\
PI\perp BM (vì \widehat{MIP}=90^{0})
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow K$ là giao điểm của 3 đường cao $\Delta MBP$
Vì KJ là đường cao
$\Rightarrow PI<BP$
$\Rightarrow KP<BP$
d) Ta có:
$\widehat{NKM}+\widehat{IMK}=90^{0}$
$\widehat{IMK}=\widehat{KMD}$
$\Rightarrow \widehat{NKM}+\widehat{IMK}=90^{0}$
mà $\widehat{NMK}+\widehat{KMD}=90^{0}$
$\Rightarrow \widehat{NKM}=\widehat{NMK}$
$\Rightarrow \Delta NMK $cân tại N
Ta có: C là giao điểm hai đường phân giác
$\Rightarrow MC$ là phân giác của $\widehat{MNI}$
Xét $\Delta MNK$ cân tại N có: MC là phân giác $\widehat{MNI}$
$\Rightarrow BI$ là đường cao $\Delta NMK$
$\Delta NMK$ có MI và NC là đường cao và $NC\cap MI={D}$
$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta MNK$