Cho (Un): U1=1, U2=2 và Un+1-2Un+Un-1=1 (mọi n > 2). Tìm Un Cho (Un) : U1=1/3 Un+1=$\frac{n+1}{3n}$ *Un. Đặt Vn=Un/n Chứng minh (Vn) là cấp số nh

0 bình luận về “Cho (Un): U1=1, U2=2 và Un+1-2Un+Un-1=1 (mọi n > 2). Tìm Un Cho (Un) : U1=1/3 Un+1=$\frac{n+1}{3n}$ *Un. Đặt Vn=Un/n Chứng minh (Vn) là cấp số nh”

1. Đáp án: B1:$u_n=\dfrac{{{n^2} – n + 2}}{2}$

    

   Giải thích các bước giải:

   B1:

   Ta có:

   ${u_{n + 1}} – 2{u_n} + {u_{n – 1}} = 1 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = {u_n} – {u_{n – 1}} + 1$ (1)

   Xét dãy $(v_n)$ sao cho $v_1=u_2-u_1=1$ và ${v_{n-1}} = {u_n} – {u_{n – 1}}$ với $n\in N^*$

   Khi đó: $(1) \Leftrightarrow {v_n}_{ + 1} = {v_n} + 1$

   Suy ra $(v_n)$ là cấp số cộng với $v_1=1$ và công sai $d=1$

   Lại có:

   $\begin{array}{l}
   {u_n} – {u_1} = ({u_n} – {u_{n – 1}}) + ({u_{n – 1}} – {u_{n – 2}}) + … + ({u_2} – {u_1})\\
    = {v_{n – 1}} + {v_{n – 2}} + … + {v_1}\\
    = ({v_1} + (n – 2).1) + ({v_1} + (n – 3).1) + … + {v_1}\\
    = (n – 1){v_1} + \left[ {n – 2 + n – 3 + … + 1} \right]\\
    = n – 1 + \dfrac{{(n – 1)(n – 2)}}{2}\\
    = \dfrac{{n(n – 1)}}{2}\\
    \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \dfrac{{n(n – 1)}}{2} = 1 + \dfrac{{n(n – 1)}}{2} = \dfrac{{{n^2} – n + 2}}{2}
   \end{array}$

   Vậy $u_n=\dfrac{{{n^2} – n + 2}}{2}$

   B2:

   Ta có:

   $v_n=\dfrac{u_n}{n}\to v_1=\dfrac{1}{3}; u_n=v_n.n$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   {u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n}\\
    \Leftrightarrow {v_{n + 1}}.(n + 1) = \dfrac{{n + 1}}{3}.{v_n}\\
    \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}.{v_n}
   \end{array}$

   Suy ra $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1=\dfrac{1}{3}$ và công bội $q=\dfrac{1}{3}$

   Vậy $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1=\dfrac{1}{3}$ và công bội $q=\dfrac{1}{3}$

   Trả lời