## Cho x,y>0 tm \sqrt{x}+\sqrt{y} ≥1 Tìm min P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1

Question

Cho x,y>0 tm \sqrt{x}+\sqrt{y} ≥1
Tìm min P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1

in progress 0
1 năm 2021-10-27T20:29:42+00:00 2 Answers 5 views 0

1. Đáp án:

$GTNN$ $của$ $P$ $là$ $14$ $tại$ $x = 1; y = 0$

Giải thích các bước giải:

$P=\frac{2x + 8√x + 17}{√x + 2} + \frac{3y + 6√y + 5}{√y + 1}$

$P=\frac{(2x + 8√x + 8) + 9}{√x + 2} + \frac{(3y + 6√y + 3) + 2}{√y + 1}$

$P= \frac{2(x + 4√x + 4)+9}{√x+2} + \frac{3(y + 2√y + 1) + 2}{√y +1}$

$P = \frac{2(√x + 2)² + 9}{√x + 2} + \frac{3(√y + 1)² + 2}{√y +1}$

$Đặt$ $a = √x + 2 ; b = √y + 1$

$ĐK : a \geq 2 ; b \geq 1$ $thỏa$ $mãn$ $a+b \geq4$$(vì √x +√y \geq1)$

$Khi$ $đó$ $ta$ $có:$

$P=\frac{2a² + 9}{a} + \frac{3b² + 2}{b}$

$P=\frac{2a²}{a} + \frac{9}{a} + \frac{3b²}{b} +\frac{2}{b}$

$P = 2a + \frac{9}{a} + 3b + \frac{2}{b}$

$P = (a + b) + (a + \frac{9}{a}) + (2b + \frac{2}{b})$

$Theo$ $BĐT$ $Cauchy$ $ta$ $có:$

$a + \frac{9}{a} \geq 2√(a.\frac{9}{a}) = 2.3=6$

$2b + \frac{2}{b} \geq 2√(2b.\frac{2}{b}) = 2.2 =4$

$→ P \geq 4 + 6 + 4 = 14$

$Dấu$ $”=”$ $xảy$ $ra$ $⇒$ $\left \{ {a + b = 4} \atop {a = \frac{9}{a} \atop {2b = \frac{2}{b}}}\right.⇒\left \{ {{a = 3} \atop {b = 1}} \right. ⇒\left \{ {{x = 1} \atop {y = 0}} \right.$

$Vậy$ $GTNN$ $của$ $P$ $là$ $14$ $tại$ $x = 1; y = 0$

2. Đáp án:

min_P=14<=>x=1,y=0

Giải thích các bước giải:

P=(2x+8\sqrt{x}+17)/(\sqrt{x}+2)+(3y+6\sqrt{y}+5)/(\sqrt{y}+1)

=(2(\sqrt{x}+2)^2+9)/(\sqrt{x}+2)+(3(\sqrt{y}+1)^2+2)/(\sqrt{y}+1)

Đặt a=\sqrt{x}+2,b=\sqrt{y}+1(a,b>0)

=>P=(2a^2+9)/a+(3b^2+2)/b

=2a+9/a+3b+2/b

=a+b+a+9/a+2b+2/b

=4+a+9/a+2b+2/b

BĐT AM-GM:

=>a+9/a>=6

=>2b+2/b>=4

=>P>=4+6+4=14

Dấu “=” xảy ra khi a+b=4,a^2=9,b^2=1

<=>a=3,b=1

<=>x=1,y=0

Vậy min_P=14<=>x=1,y=0