Cho y=-x^2 và y=mx+m-2 có 2 nghiệm phân biệt. tìm m để y1 + y2 đạt giá trị bé nhất

0 bình luận về “Cho y=-x^2 và y=mx+m-2 có 2 nghiệm phân biệt. tìm m để y1 + y2 đạt giá trị bé nhất”

1. Đáp án:

    m=1 đạt nhỏ nhất =3

   Giải thích các bước giải:

   Lấy hai phương trình trừ nhau, ta được:

     x2+mx+m−2=0x2+mx+m−2=0

   Để phương trình có nghiệm thì:

      Δ≥0Δ≥0

   ⇔m2−4.1.(m−2)≥0⇔m2−4.1.(m−2)≥0

   ⇔m2−4m+8≥0⇔m2−4m+8≥0

   ⇔m2−4m+4+4≥0⇔m2−4m+4+4≥0

   ⇔(m−2)2+4≥0⇔(m−2)2+4≥0 (∀x)(∀x)

   Theo định lí Vi ét, ta có:

     x1+x2=−mx1+x2=−m

     x1x2=m−2x1x2=m−2

   Thay y1=−x21y1=−x12 và y2=−x22y2=−x22 vào y1+y2y1+y2 ta được:

   x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2

   =(−m)2−2(m−2)=m2−2m+4=(m−1)2+3=(−m)2−2(m−2)=m2−2m+4=(m−1)2+3

   Để y1+y2y1+y2 đạt giá trị bé nhất thì (m−1)2+3(m−1)2+3 bé nhất 

   →→ m=1m=1 thì khi đó y1+y2=3

   Trả lời

2. Lấy hai phương trình trừ nhau, ta được:

     $x^2+mx+m-2=0$

   Để phương trình có nghiệm thì:

      $Δ≥0$

   $⇔ m^2-4.1.(m-2) ≥ 0$

   $⇔ m^2-4m+8 ≥ 0$

   $⇔ m^2-4m+4+4 ≥ 0$

   $⇔ (m-2)^2+4 ≥ 0$ $(∀x)$

   Theo định lí Vi ét, ta có:

     $x_1+x_2=-m$

     $x_1x_2=m-2$

   Thay $y_1=-x^2_1$ và $y_2=-x^2_2$ vào $y_1+y_2$ ta được:

   $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

   $=(-m)^2-2(m-2)=m^2-2m+4=(m-1)^2+3$

   Để $y_1+y_2$ đạt giá trị bé nhất thì $(m-1)^2+3$ bé nhất 

   $\to$ $m=1$ thì khi đó $y_1+y_2=3$

   Trả lời